Wie funktioniert der Basiswechsel in der Mathematik?

Hallo, wir haben letztens den Basiswechsel in Mathe durchgesprochen und wie man z.B. 2^x zur Basis e schreibt verstehe ich auch. Nun soll ich das ganze allerdings umgekehrt machen und komme dabei nicht weiter. Könnt ihr mir bei folgender Aufgabe helfen?

Schreiben Sie die Funktion e^(-0,125 * x) als Exponentialfunktion zur Basis a in der Form
e^(-0.125 * x) = a^x
Vielen Dank für die Hilfe!!!

Answer 1

[evtldocha]

Man macht sich das Potenzgesetz:

$\left(a^b\right)^c=a^{b\cdot c}$

zunutze:

$e^{-\frac{1}{8}x}=\left(e^{-\frac{1}{8}}\right)^{^x}=a^x\ \ \rightarrow\ a\ =\ e^{-\frac{1}{8}}$

$a=e^{-\frac{1}{8}}\ \approx\ 0,8825\ \rightarrow\ e^{-\frac{1}{8}x}\ \approx\ 0,8825^x$

Comments

[Henry522]

Aber es soll ja am ende irgendwas mit a^x dastehen haben und nicht die Gleichung lösen

[evtldocha]

@Henry522

Es steht doch was mit a da. 0,8825^x. Ich löse doch keine Gleichung, sondern bestimme "a" so, dass die Funktionen identische Werte für gleiche x=Werte ergeben. Und das ist der Basiswechsel von e zur Basis "a" (= 0,8825).

[Henry522]

@evtldocha

Also meinst du, dass a 0,8825 ist? Weil ich hatte das so verstanden, dass man für a am ende jede beliebige Zahl einsetzen kann und es trotzdem gleich e^(-0.125x) ist?

[evtldocha]

@Henry522

Also meinst du, dass a 0,8825 ist?

Was sollte ich sonst meinen?

In meiner Antwort steht: $a=e^{-\frac{1}{8}}\ \approx\ 0,8825\ \rightarrow\ e^{-\frac{1}{8}x}\ \approx\ 0,8825^x$

Das Gleichheitszeichen hinter "a" beschreibt eine Identität