Wie findet man die Symmetrie einer e-Funktion heraus?

Hey,

Bei ganzrationalen Funktionen kann man ja einfach nach den Hochzahlen gucken, das reicht meiner Lehrerin auch, aber wie ist es bei Expontentialfunktionen? Nach was schaut man da oder muss man da irgendwas berechnen.

Ach ja und falls jemand die Antwort dazu noch weiss: wieso ist eine funktion punktsymmetrisch zum Ursprung wenn sie nur ungerade Exponenten hat und andersherum?

3 Antworten

Astroknoedel2

15.05.2017, 17:49

Also bei ganzrationalen Funktionen gibt es zwei Kriterien, die für Punktsymmetrie und Achsensymmetrie zur y-Achse "stehen":

Sei f:R--->R eine ganzrationale Funktion. f heißt achsensymmetrisch, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist

f(x)=f(-x)

und punktsymmetrisch, wenn

f(x)=-f(x) gilt.

Wenn ein Polynom einen geraden Grad und sonst keine ungeraden Exponenten in der Funktionsgleichung hat, so muss sie achsensymmetrisch sein, da jede negative Zahl mit einem geraden Exponenten positiv wird.

(Beispiel: (-1)^1= -1 (-1)^2= +1 (-1)^3=-1 (-1)^4=+1 Falls es dich interessiert: Das hier wird alternierende Reihe genannt, sie wechselt zwischen 1 und -1)

Das gleiche Schema gilt für negative Exponenten, nur dass es eben andersherum ist, wie du in dem Beispiel gesehen hast.

Bei Exponentialfunktionen ist es nun nur so, dass der Exponent selber eine Variable ist. Und intuitiv kannst du dir denken, dass eine Exponentialfunktion als solche nicht achsensymmetrisch zur y-Achse sein kann.

Wir könn's ja mal meinetwegen durchrechnen:

f(x)=f(-x) ====> e^x=e^-x= 1/e^x Das gilt ganz sicher nicht für alle reellen Zahlen! Siehe 2 != 1/2 Du siehst, dass du hier die normalen Gesetze der (ganz)rationalen Funktionen nicht anwenden kannst. Deswegen sind die Exponentialfunktionen auch eine Klasse für sich.