Wie bestimmt man hier die maximalen Monotonieintervalle?

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1 Antwort

Hallo,

Du bist auf dem richtigen Weg: Fallunterscheidung. 

Es gilt: f'(x) = 3x² - a. Untersuchen wir die Nullstellen der Ableitung f':

f'(x) = 0 <=> 3x² = a

1) Ist a = 0, dann ist f'(x) = 3x² ≥ 0 für alle x ∈ ℝ, d.h. auf dem Intervall

]-∞; +∞[ ist f monoton steigend.

2) Ist a < 0 dann hat f'(x) = a keine Lösung und f'(x) > 0 für alle  x ∈ ℝ.

In dem Fall ist f streng monoton steigend auf dem Intervall ]-∞; +∞[.

3) Ist a > 0 , dann hat die Gleichung f'(x) = 0 zwei Lösungen :

x1 =  -√(a/3) und x2 = +√(a/3).

Im Intervall ]-√(a/3) ;+√(a/3)[ gilt: f'(x) < 0, d.h. auf diesem Intervall ist f

streng monoton fallend.

Auf den Intervallen ]-∞ ;-√(a/3)[ und   ]+√(a/3) ; +∞[ ist f'(x) > 0, also ist auf diesen zwei Intervallen f streng monoton steigend.

Danke für die Antwort! Aber wie kommt man immer darauf, wo sie steigend und wo fallend ist? Wir haben das immer skizziert und wegen dem Parameter weiß ich jetzt nicht recht, wie ich das machen soll. Kann ich z.B. auch für a einfach einen positiven Wert einsetzen und diesen dann als Nullstelle nehmen oder sowas?

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@metalhead998

Ja der Parameter kann etwas verwirren.

Was massgebend ist ist das Vorzeichen der Ableitung. Ihr müsstet ein Theorem gehabt haben das besagt: f ist auf einem Intervall [a;b] streng monoton steigend genau wenn f'(x) > 0 auf [a;b].

(monoton steigend genau wenn f'(x) ≥ 0).

Das Gleiche mit f'(x) < 0 bzw. ≤ 0 (f streng monoton fallend bzw. monoton fallend.)

Konntest Du folgen?

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@eddiefox

Mit anderen Worten: ist a negatif, dann ist die Ableitung immer positiv. Ist a = 0, dann ist die Ableitung immer  ≥ 0. Ist a positiv, dann ist die Ableitung auf zwei Intervallen positiv und auf dem "mittleren" Intervall negativ. Dementsprechend ist dann die Monotonie der Funktion f.

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Danke, ich habe es mir gerade selbst ein wenig erschlossen. Ich habe geschrieben, dass wenn keine Nullstelle existiert, ist Gf nur oben, also sms und bei den beiden Nullstellen mit Parametern kommt ja die Ableitung von oben bei x^2, also muss sie dann bei den Nullstellen unter die x-Achse gehen.

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@metalhead998

Genau. Cf' ist eine nach oben geöffnete Parabel. Entweder liegt sie oberhalb der x-Achse (a < 0) und f'(x) ist auf ganz ℝ positiv, oder sie berührt sie (a=0) und f'(x) ≥ 0  oder sie schneidet die x-Achse 2mal (a >0) und f'(x) wechselt auf ℝ zweimal das Vorzeichen.

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