Nullstellen Berechnung von Kettenlinie mit Parameter a?

Hallo, ich soll von der Funktion fa(x)= 3−a/2(e^ax +e^−ax) die Nullstellen berechnen. Als Tipp wurde Substitution vorgeschlagen. Ich weiß leider nicht mal annähernd wie ich vorgehen soll.

Answer 1

[tunik123]

Substitution ist doch ein guter Tipp.

z = e^(ax)

0 = 3 - a/2(z + 1/z)

Das wird eine quadratische Gleichung für z. Wenn man deren Lösungen hat, kann man über ax = ln(z) das x berechnen.

Comments

[corona123]

dankeschön, mir ist gerade aufgefallen dass ich beim abschreiben der Funktionsgleichung einen Fehler gemacht habe, die richtige Funktion lautet fa(x)= 3-a/2*(e^(x/a) +e ^(-x/a))

wie sieht es da aus?

und kann ich e^(-x/a) auch einfach durch z ersetzen, also wegen des minuses?

[tunik123]

@corona123

Ja da geht das auch.

Ich habe die Aufgabe so interpretiert, wie sie jetzt dasteht, denn die Kettenlinie beruht auf cosh(x) = 1/2 * (e^(x) +e ^(-x))

[corona123]

@tunik123

und wie wird die Funktion dann zu einer quadratischen Gleichung, weil hebt sich nicht z+1/z auf?

[tunik123]

@corona123

Nein, man muss die Gleichung mit z multiplizieren

0 = 3 - a/2*(z + 1/z)

0 = 3 * z - a/2 * z² - a/2

nach Multiplikation mit 2/a hat man die Normalform für die p/q-Formel.

0 = z² + 6/a * z - 1

[corona123]

@tunik123

okay danke

ich hab jetzt als nullstellen also für z1= wurzel(9/a^2 +1) -3/a

wie bekomme ich dann x raus?

[tunik123]

@corona123

Aus z = e^(ax) folgt ax = ln(z), also x = ln(z)/a.

Answer 2

[fjf100]

Potenzgesetz a^(-n)=1/a^(n) oder 1/a^⁽-n)=a^(n)

fa(x)=3-a/2*e^(a*x)-a/2*1/e^(a*x) multipliziert mit e^(a*x)

0=3*e^(a*x)-a/2*e^(a*x)*e^(a*x)-a/2 Substitution (ersetzen) z=e^(a*x)

0=-a/2*z*z+3*z-a/2 dividiert durch -a/2

0=z²-6/a*z+1 ist eine Parabel der Form 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel

x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Comments

[corona123]

dankeschön, mir ist gerade aufgefallen dass ich beim abschreiben der Funktionsgleichung einen Fehler gemacht habe, die richtige Funktion lautet fa(x)= 3-a/2*(e^(x/a) +e ^(-x/a))

wie sieht es da aus?

[fjf100]

@corona123

selbe Rechnung e^(-1/a*x)=e^(1/a)*x)

überschaubarer Substitution c=1/a*x

e^(-1*c)=1/e^(c) → a^(-n)=1/a^(n) oder 1/a^(-n)=a^(n)