Wie bestimme ich den Grad eines Graphen (Polynomfunktion, ganzrational)?
Hallo, ich weiß eigentlich halbwegs, wie das funktioniert, aber verstehe bei 11b) nicht, wieso es 8. Grades sein muss... Der Graph hat 3 Extrempunkte, 4 Nullstellen und eine Wendestelle. Das klingt für mich als ob mindestens f(x)=Grad 4 ist und nicht Grad 8 ist...Hat das was mit der Achsensymmetrie zu tun?? Hilfe:(
Und weiss jemand auch zufälligerweise wie man bei c) vorgehen würde?
3 Antworten
Also du hast hier 2 Sattelpunkte, somit muss die Ableitung da mindestens eine doppelte nullstelle haben (da die Ableitung an diesen Stellen die Achse berühren muss, nicht schneiden)
Dazu 3 Extrempunkte, also mindestens einfache Nullstellen.
Insgesamt hat die Ableitung also mindestens 7 Nullstellen, also mindestens Grad 7.
Da der Grad der Stammfunktion um eins höher als die Ableitung ist, hat also die Funktion mindestens Grad 8.
Bei C) kannst du du erstmal sagen, dass die Funktion achsensymmetrisch ist, weswegen du nur die geraden Koeffizienten brauchst (also insgesamt 5 Koeffizienten)
Nun musst du 5 verschiedene Eigenschaften raussuchen (jedoch nur die aus der rechten Seite des Koordinatensystems, da du die der linken durch die Symmetrie direkt mitnimmst)
Stimmt, du kannst auch sagen, dass du du zwei einfache Nullstellen hast plus die beiden Sattelpunkte, welche auf jeden Fall mindestens dreifache sind (da sie eine waagerechte Tangente haben) somit insgesamt 8 Fache Nullstelle, also Grad 8 :)
sorry, für die vielen fragen, aber wieso benötige ich bei achsensymmetrie nur die koeffizienten? soll ich mir welche ausdenken? in welche formel setze ich die ein? und was meinst du mit 5 eigenschaften? sorryy mathe ist meine große schwäche :3
Also da deine Funktion achsensymmetrisch ist, bedeutet es, dass alle Summanden einen geraden Exponenten haben.
Also hat deine Funktion Die Form
ax^8+bx^4+cx^2+d
Jetzt musst du nur noch eine klassische Steckbriefaufgabe machen um die Koeffizienten zu finden. Da du 5 Koeffizienten hast, brauchst du auch 5 Eigenschaften.
Zum beispiel: die Funktion hat bei x=0 einen Hochpunkt. Also ist die erste Ableitung da 0
Oder dee Sattelpunkt bei x=1 da kannst du sogar 3 Eigenschaften rauslesen:
f(1)=0
f'(1)=0
f''(2)=0
Du brauchst jetzt also nur noch eine 4. Bedingung.
Dies setzt du jetzt alles einzeln in die allgemeine Funktionsgleichung/in die Ableitungen ein und erhälst damit 5 Gleichungen
Das Gleichungssystem musst du nur noch lösen und du erhälst deine Koeffizienten
vielen dank!!!! du rettest michh :D wieso hast du bei f‘‘(x) aber eine 2 eingesetzt statt einer 1?
Der Graph liegt achsymetrisch zur y-Achse
Bedingung: f(x)=f(-x) mit n=gerade hier n=Exponent
Beispiel: f(x)=a4*x⁴+a2*x²+ao
Im Bild sehen wir 4 Nullstellen und 3 Extrema,sind zusammen 7 Punkte,wo der Graph hindurchgeht.
nächste Möglichkeit wäre f(x)=a6*x⁶+a4*x⁴+a2*x²+ao
Dann wieder f(x)=a8*x⁸+a6*x⁶+a4*x²+a2*x²+ao
Das sind dann 5 Unbekannte,a8,a6,a4,a2 und ao
3 Extrema,und 2 Wendepunkte und 2 Nullstellen,die symetrisch zur y-Achse liegen.
Damit kann man´s probieren
danke, ich habe nur leider noch nicht ganz verstanden, wieso man nur 5 unbekannte braucht und wo man das jetzt einsetzt
Bedingung für die Achssymetrie ist f(x)=f(-x) und n=gerade
Damit ergibt sich für die ganzrationale Funktion 8.Grades
f(x)=a8*x⁸+a6*x⁶+a4*x⁴+a2*x²+ao
Das sind 5 Unbekannte und dafür braucht man auch 5 Gleichungen,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar
Beispiel:Parabel y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao dies sind 3 Unbekannte,a2,a1 und ao
Wenn man nun 3 Punkte gegeben hat. P1(x1/y1) und P2(x2/y2) und P3(x3/y3) dann ergeben sich 3 Gleichungen
1) f(x1)=y1=a2*x1²+a1*x1+ao aus P1(x1/y1)
2) f(x2)=y2=a2*x2²+a1*x2+ao aus P2(x2/y2)(
3) f(x3)=y3=a2*x3²+a1*x3+ao aus P3(x3/y3)
Dies ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen,also lösbar
siehe Mathe-Formelbuch LGS
1) Additionsverfahren
2) Einsetzverfahren
3) Gleichsetzverfahren
4) Gaußscher Algorithmus
5) Cramer´sche Regel
du musst bedenken, dass sattelpunkte auch extremstellen sind
hat man wegen der Sattelpunkte nicht aber sogar dreifache Nullstellen, weil sie SP an der x-Achse sind und es ein Vorzeichenwechsel gibt? Danke!!:)