Funktionsterm einer Polynomfunktion 4. Grades bestimmen?
Könnt ihr mir mit folgender Aufgabe weiterhelfen? Ich stehe grad massiv auf der Leitung. (Nein es sind keine Hausaufgaben, ich lerne für eine KA)
Eine Polynomfunktion 4. Grades hat eine dreifache Nullstelle an der stelle x=0 und eine einfache Nullstelle bei x=3. der Punkt (2|-2) gehört zu ihrem Schaubild.
Bestimmen Sie ihren Funktionsterm.
2 Antworten
Hallo,
wenn eine Nullstelle gegeben ist bei einer Polynomfunktion, bedeutet das, daß ein Faktor schon mal (x-Nullstelle ist)
Doppelte Nullstelle: (x-Nullstelle)^2,
Dreifache Nullstelle: (x-Nullstelle)^3 usw.
Hier ist eine dreifache und eine einfache Nullstelle gegeben, das bedeutet:
Faktoren der Funktion sind schon mal (x-0)^3*(x-3), also x^3*(x-3)
Mehr als vier Nullstellen kann es bei einer Funktion vierten Grades nicht geben, damit sind wir also durch.
Jetzt gibt es nur noch einen konstanten Faktor a, den wir herausbekommen, wenn wir den Punkt (2|-2) in die Funktionsgleichung
f(x)=a*x^3*(x-3) einsetzen:
f(2)=8a*(-1)=-2
-8a=-2
a=0,25
f(x)=0,25*x^3*(x-3)
Sie hat alles, was das Herz begehrt:
Dreifache Nullstelle bei x=0, einfache Nullstelle bei x=3 und den Punkt (2|-2)
Ach ja, vierten Grades ist sie auch, denn wenn Du die Klammern ausmultiplizierst, erscheint x^4 als höchste Potenz von x.
Herzliche Grüße,
Willy
wow danke für die ausführliche antwort ! ich fenke jetzt habe ich es kapiert
Da Du alle Nullstellen kennst, stellst Du die Gleichung einfach in der "Nullstellenform" auf, mit dem Streckungsfaktor a als einziger Unbekannter...
Dreifache Nullstelle bedeutet, an die entsprechende Klammer kommt ein "Hoch 3":
f(x)=a * (x-0)³ * (x-3)
[Die Klammer (x-0) habe ich nur zur Verdeutlichung geschrieben; Du kannst natürlich direkt x³ hinschreiben.]
Jetzt noch den Punkt einsetzen und nach a auflösen...
Richtig!
(Ursprung hat aber nichts mit Zeitmessung zu tun :) )
eine 3fache Nullstelle ist ein Sattelpunkt der in diesem fall durch den Uhrsprung geht, richtig oder ? sonst vielen Dank! ich sitz jetzt seit einer knappen stunde an der Aufgabe!