Wie berechnet man gemeinsame Punkte einer Funktionsschar?
Folgene Aufgabe habe ich:
fa(x) = (a/5) x^2 - ([6a-5] / 5) x + a
Man soll gemeinsame Punkte der Funktion ermitteln (algebraisch).
Mir ist klar, dass ich das mit zwei Parametern für a gleichsetzten muss und dann nach x umforme, aber genau das bekomme ich nicht hin. Wäre super, wenn mir jemand den genauen Rechenweg zeigen könnte. Danke.
2 Antworten
Ein kürzerer Weg geht so:
Ich kann die Funktion fa(x) auch so umformen:
fa(x) = a (1/5 x² - 6/5 x +1 ) + x
Für zwei unterschiedliche Parameter a kann da nur dasselbe herauskommen, wenn der Inhalt der Klammer gleich Null ist. Wäre der nämlich nicht gleich Null, dann kommt z. B. für a1=1 und a2 =0
1 * (irgendwas ungleich Null) + x = 0 * (irgendwas ungleich 0) + x
und das geht natürlich nicht.
Damit suche ich die Nullstellen von
1/5 x² - 6/5 x +1 oder die Lösungen der Gleichung
1/5 x² - 6/5 x +1 = 0.
Der Rest ist natürlich gleich.
Nein. Das ist ein Missverständnis. Ich habe benutzt, dass es AUCH für 0 und 1 gilt. Der eigentliche Schritt ist die Zerlegung des Terms in einen, der von a abhängt
a (1/5 x² - 6/5 x +1 )
und einen, der das nicht tut
x
Wenn ich einen Punkt habe, der für alle a gleich ist, dann ist er es auch für die beiden Werte 0 und 1. Das benutze ich. Ich sage NICHT, dass aus der Gültigkeit bei 0 und 1 die Gültigkeit für alle a folgt. Das wäre natürlich falsch.
Du denkst sozusagen falsch herum.
Du hast in Worten argumentiert, aber nicht formal. Ich würde das auch mathematisch korrekt zeigen:
Sei a ungleich b und
fa(x) = a (1/5 x² - 6/5 x +1 ) + x,
fb(x) = b (1/5 x² - 6/5 x +1 ) + x.
Dann ergibt sich folgende mathematisch formale Argumentation:
fa(x) = fb(x),
fa(x) - fb(x) = 0,
(a-b) (1/5 x² - 6/5 x +1) = 0,
a - b = 0 oder 1/5 x² - 6/5 x +1 = 0.
Wegen der Voraussetzung a ungleich b ist a-b ungleich 0. Dann kann nur 1/5 x² - 6/5 x +1 = 0 sein.
Setze fa(x) = (a/5) x^2 - ([6a-5] / 5) x + a und
fb(x) = (b/5) x^2 - ([6b-5] / 5) x + b, wobei a ungleich b ist.
Wir suchen die gemeinsamen Punkte der Graphen von fa und fb.
fa(x) = fb(x)
(a/5) x^2 - ([6a-5] / 5) x + a = (b/5) x^2 - ([6b-5] / 5) x + b
Wir multiplizieren mit 5:
a x^2 - (6a-5) x + 5a = b x^2 - (6b-5) x + 5b
Nun bringen wir alles auf eine Seite:
(a-b) x^2 - 6(a-b) x + 5(a-b) = 0
Wir teilen durch (a-b), denn a-b ist nach Voraussetzung nicht Null:
x^2 - 6x + 5 = 0
x = 3 +- sqrt(9-5)
x = 3 +- sqrt(4)
x = 3 +- 2
x = 5 oder x = 1
Es ist
fa(1)=(a/5)-([6a-5] / 5)+a = 1
und
fa(5)=25(a/5)-5([6a-5] / 5)+a = 5.
Also sind die gemeinsamen Punkte der Graphen der Funktionsschar bei
P(1 | 1) und Q(5 | 5).
Echt toller Beitrag !! Die Aufgabe werde ich zu meiner Aufgabensammlung legen .
Dann hast du es nur für f0 und f1 gezeigt. Man muss es aber allgemein zeigen.