Wie berechnet man diese Aufgabe (also beide Teilaufgaben)?
3 Antworten
a) Monotonie liegt vor, wenn sich das Vorzeichen der Steigung innerhalb des Intervalls nicht ändert. Also leiten wir mal ab:
f(t) = -5t^2 + 130 t
f'(t) = -10t + 130
und stellen nun die Steigung am Anfang fest:
f'(0) = -10 * 0 + 130 = 130
Wir haben am Anfang also eine positive Steigung.
Das Vorzeichen der Steigung ändert sich immer und nur an Extremstellen. Da ist die Steigung = 0. Deshalb übeprürfen wir nun, wo die Funktion eine Extremstelle hat:
f'(t) = 0
-10t + 130 = 0
10t = 130
t = 13
Ergebnis: Da die Funktion am Anfang eine positive Steigung hat und sich im Intervall [0; 12] keine Extremstelle befindet, ist die Funktion streng monoton steigend.
Sachzusammenhang: In den ersten 12 Monaten nach Produkteinführung nimmt der Umsatz ständig zu.
b)
Über das Krümmungsverhalten gibt die zweite Ableitung auskunft. Die bilden wir daher:
f' '(t) = -10
Der Graph der Funktion hat eine konstante Krümmung mit negativem Vorzeichen. Sie ist daher stets rechts gekrümmt.
Sachzusammenhang: Wenn die Funktion stets rechts gekrümmt ist, wird der Umsatz irgendwann einen Höhepunkt erreichen und danach wieder sinken. Den Höhepunkt haben wir bereits in a) bei t = 13 festgstellt. Das bedeutet, dass der Umsatz bis zum 13. Monat ansteigt und danach abfällt, bis er irgendwann 0 erreicht. Diesen Nullpunkt können wir feststellen:
f(t) = 0
-5t^2 + 130 t = 0
t(-5t + 130) = 0
Bei t = 0 ist f(t) = 0. Das bedeutet, dass die Firma mit 0 Umsatz beginnt, was ja auch logisch ist.
Der zweite Nullpunkt liegt bei:
-5t + 130 = 0
5t = 130
t = 130/5 = 26
Sachzusammenhang: Nachdem das Umsatzmaximum im 13. Moat erreicht wird, wird es ab dem 26. Monat gar keinen Umsatz mehr geben.
Das Vorzeichen der ersten Ableitung von f(x) sagt dir, wo die Funktion f(x) monoton steigt und wo sie monoton fällt. Da die erste Ableitung der Funktion f(x) eine lineare Funktion ist, kannst du die Monotoniebereiche sehr einfach bestimmen: Die einzige Nullstelle der Ableitung trennt den Bereich der monotonen Zunahme vom Bereich der monotonen Abnahme. Der Wert der Nullstelle selbst gibt den Zeitpunkt an, zu dem sich das Monotonieverhalten der Umssatzfunktion verändert. (Das ist der Scheitelpunkt der Umsatzfunktion).
a) Man bestimmt den Scheitelpunkt. Wegen des Minus beim t² gilt: Links vom Scheitelpunkt steigt die Funktion streng monoton, rechts davon fällt sie streng monoton.
b) Wegen des Minus beim t² ist der Graph negativ (also rechts) gekrümmt.