Könnt ihr mir bei dieser Mathe Aufgabe Nr. 22 helfen?

 - (Schule, Mathematik, Vektoren)

3 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Hallo,

Aufgabe a) ist doch einfach:

Du bildest den Vektor B-A=(2/13/0)-(10/5/0)=(-8/8/0)

Der Betrag dieses Vektors, also die Wurzel aus ((-8)²+8²) ist die Breite des Flusses.

Um die Fließrichtung des Flusses zu ermitteln, interessiert nun nur noch die Richtung dieses Vektors B-A, die senkrecht zur Richtung des Flusses liegt.

Du kannst ihn daher jetzt kürzen: (-1/1/0)

Da der Fluß senkrecht zu diesem Vektor, dem Richtungsvektor der Brücke, steht, muß dieser den Richtungsvektor (1/1/0) besitzen, denn das Skalarprodukt von (-1/1/0) und (1/1/0) ist gleich 0, was bedeutet, daß die beiden senkrecht aufeinander stehen.

Die x-Achse, die hier in Südrichtung zeigt, hat den Richtungsvektor (1/0/0).

Der Kosinus des Winkels zwischen (1/1/0) und (1/0/0) beträgt 1/Wurzel (2), denn den Winkel Phi zwischen zwei Vektoren a und b berechnet man nach folgendem Schema:

cos (Phi)=|a·b|/(|a|·|b|), Du teilst also den Betrag des Skalarproduktes der beiden Vektoren durch das Produkt der Beträge beider Vektoren.

Der Winkel ist dann der Arkuskosinus des Ergebnisses, hier also 45°.

Das bedeutet, daß der Fluß genau in der Richtung zwischen Süden und Osten (zwischen x-Achse und y-Achse fließt), also in Richtung Südost.

Wenn Punkt A am linken Flußufer liegen würde, flösse der Fluß in Richtung Nordwest, aber durch die Lage am rechten Flußufer hat Punkt A die Richtung festgelegt.

Die Gleichung der Brückenebene besteht aus einem Punkt und zwei Richtungen. Du kannst hier Punkt A mit der z-Koordinate 30 als Stützpunkt nehmen und die Richtungsvektoren der Brücke und des Flusses als Richtungsvektoren der Ebene, ebenfalls mit der z-Koordinate 30, denn die Brückenebene liegt 30 Einheiten über der Flußebene:

(10/5/30)+r*(1/1/30)+s*(-1/1/30)

Bei Aufgabe c) überlegst Du, daß der Punkt P die Koordinaten (x/y/10) haben muß und daß (x/y/10)+t*(-10/10/1) zu Punkt C=(10/5/30) führen muß.

Mit Hilfe der gegebenen z-Koordinaten von Punkt P und C kannst Du t berechnen:

10+1*t=30, also t=20.

Die beiden anderen Koordinaten von P kannst Du nun mit Hilfe von t und dem Richtungsvektor berechnen.

Es gilt: x+20*(-10)=10, also x=210
y+20*10=5, also y=-195

Punkt P hat daher die Koordinaten (210/-195/10).

Der Betrag von C-P entspricht der Länge des Anstiegs.

Herzliche Grüße,

Willy

Ich habe einen Fehler bei den Richtungsvektoren der Brückenebene gemacht. Da die Brückenebene parallel zur xy-Ebene verläuft, nur 30 Einheiten senkrecht darüber, sind die Richtungsvektoren natürlich Parallelen zur x- und zur y-Achse, also

(1/0/30) und (0/1/30)

Willy

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@Willy1729

Blödsinn! (1/0/0) und (0/1/0).

Mit Punkt (0/0/30) als Stützpunkt ergibt sich dann als Ebenengleichung (0/0/30)+r*(1/0/0)+s*(0/1/0).

Der Winkel zwischen dem Richtungsvektor des Brückenanstiegs und der Flußebene, die die Gleichung r*(1/0/0)+s*(0/1/0) besitzt, ist der Arkussinus von |a·n|/(|a|·|n|), wobei n der Normalenvektor der Ebene ist, bei der xy-Ebene also die z-Achse: (0/0/1)

a ist der Richtungsvektor des Anstiegs (-10/10/1)

Willy

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@Willy1729

Zur Kontrolle:

Der Winkel zwischen Anstieg zur Brücke und der Flußebene beträgt 4,044691235°

Willy

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Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Hallo,

die Länge der Treppe bekommst Du über den Betrag von C-D heraus.

Wenn Du den Höhenunterschied von 28 durch diesen Betrag teilst, hast Du den Sinus des Anstiegswinkels.

Der Winkel beträgt 83,55640497°

Willy

mach doch erstmal selbst soweit du kannst...

also die Breite in (22a) geht doch ganz leicht... oda?

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