Unterschied numerische Integration zu normaler Integration?

... komplette Frage anzeigen

3 Antworten

"normale" Integration bedeutet symbolisch integrieren:

zu primitiven Funktionen sind Integrationsregeln bekannt (Mathebücher mit Listen von Tabellen) , d.h. man hat als Ergebnis eine fertige Funktion, die man beliebig genau berechnen kann. (Polynome, sin,...)

Oft sind aber die Integrationsfunktionen nicht bekannt und so bleiben nur numerische Algorithmen. Hier muss man die gewünschte Genauigkeit vorgeben und so lange rechnen, bis diese erreicht wird.

Unter http://www.gerdlamprecht.de/Integral_Substitutionen.html 

§B1b ist das Integral t^t dt bis zur Grenze x, was bis heute nicht symbolisch integrierbar ist! Selbst die Wandlung in unendliche Summe benötigt die  ExpIntegralE-Funktion, die auch wieder eine Integralfunktion ist, die nur aus unendlichen Summen (hypergeometrischen Funktionen) berechnet werden kann.

Das Problem bei numerischen Methoden ist der Rechenaufwand und der verwendete Variablentyp. 99% der Programme verwenden double, was nur 15 Stellen genau ist. Wenn man nun große Bereichsgrenzen hat, wird die Anzahl der kleinen Flächenstücke sehr groß. Beim Aufsummieren summiert sich auch der Rundungsfehler (Fehlerfortpflanzung).

Vergleich numerischer Methoden wird oft falsch herangegangen. Man nimmt eine konstante Anzahl an Flächenstücken (hast Du leider nicht angegeben) und vergleicht das Ergebnis.

Unter Wissenschaftlern gibt man die gesuchte Genauigkeit vor (denn 99% aller echten Ergebnisse sind irrational und haben unendlich viele Stellen).

Nun sucht man den geeignetsten Algorithmus, der am schnellsten zum Ergebnis kommt, denn das kann zwischen Sekunden und Tagen schwanken.

Trapezregel ist bei gleicher Anzahl an Teilflächen zur Simpsonregel deshalb ungenauer, weil hier nur geradlinige Verbindungslinien verwendet werden.

Bei Simpsonregel wird ein Interpolationspolynom als Teilfläche verwendet. Logisch, dass das dann genauer ist, wenn Ihr Polynome als Integrationsfunktion verwendet! 

Wikipedia: Simpsonregel

Wie man bei DepravedGirl sieht, kommen mehrere Fakten zusammen:

- Rundungsfehler kann auch mal positive Auswirkung haben

- 100000 Teilstücke werden mit 190 verglichen 

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

hab mal ein bild angefügt u. zwschen x2 u. x3 die stelle markiert die ich mein also den "spalt". ich denke dadurch entsteht eben eine ungenauigkeit oder

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von hypergerd
21.11.2015, 17:43

Ja, und wenn Du uns noch die genaue Funktion mit den Randgrenzen verraten würdest, könnte man diesen "Spalt" (besser Flächenstück) beliebig genau ausrechnen.

Wie gesagt: für Polynome braucht man keine umständliche Numerik, da die Integralfunktionen bekannt sind.

Für komplizierte Funktionen gibt es oft bessere Verfahren wie

Tanh-sinh_quadrature (siehe engl. Wikipedia)

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

zeigt im Beispiel 80, wie man 

sqrt((1-x*x)*(1-x*x/2)) von 0...1  {sqrt = Wurzel}

bei nur 1024 Iterationen auf alle 16 Nachkommastellen genau berechnen kann!

(exakter Wert: EllipticE(1/2)-(EllipticK(1/2))/3  

= 0.732618988613884863042224619606972492610322759... )

Hinweis: Viele Taschenrechner können oft nicht mal sin(22) auf 8 Stellen genau berechnen, da wegen des Preises auch nur Näherungen statt echte Reihenentwicklung verwendet werden.

0

Ich habe es mal mit einer Programmiersprache ausprobiert, die mit 16 Stellen nach dem Komma rechnet.

Ich habe f(x) = sin(x) von 0 bis 6 integriert, mit der Trapezregel erhält man mit 100000 Unterteilungen -->

I = 0.03982971335 (gerundet)

Mit der Simpson-Regel nach 190 Unterteilungen -->

I = 0.03982971336 (gerundet)

Echter Wert --> 0.0398297133496340...

Die Trapezregel ist also etwas genauer, wenn man die maximalen Grenzen der jeweiligen Rechnergenauigkeit ausschöpft, als die Simpson-Regel, dafür werden aber auch sehr viel mehr Unterteilungen benötigt (526 mal mehr ist es hier).

Bei reinen, endlichen Polynomen bis zum Grad 3 ist die Simpsonregel genauer.

Das steht auch auf dieser Webseite -->

http://goo.gl/K0mBLt

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von maximilian1990
21.11.2015, 10:59

ok danke, aber kann schlecht schreiben das mit der programmiersprache sowas rausgefunden habe ;) meine ergebnisse stimme ja oder ? also normale integration 4962, trapez 4966,5 u. simpson 4962? somit wäre ja trapez sehr ungenau?

2

Was möchtest Du wissen?