Wie berechnet man die Zugkraft eines Seiles?
Leider war ich krank und steige in Physik nicht mehr ganz ein. Nächste Woche soll ich nun ein paar Aufgaben abgeben, welche bewertet werden. Nur komme ich auf kein Ergebnis bei einer Aufgabe und fürchte nun um meine Note. Kann mir jemand helfen?
Die Aufgabe ist folgende: Eine Lampe (20 kg) hängt nach in der Mitte eines Seils zwischen zwei 30 m voneinander entfernten Masten. Das Seil erfährt den Durchgang h = 0,50 m bzw. 0,10 m. Bestimmen sie die Zugkraft im Seil.
Nun ich würde jetzt die Formel F= m * a benutzen und für m 20 kg einsetzen, allerdings weiß ich nicht, wie ich weitermachen soll.
:(
4 Antworten
Fg ist hier aufgebaut aus der linken und rechten Seilkraft.
Wie groß die einzelnen Seilkräfte sind, kommt auf den Winkel an, in dem die Seile anliegen. Hier kommt der Durchhang ins Spiel.
auf der einen Seite haste 0,5m und auf der anderen Seite 0,1m
Mit der Seillänge auf jeder Seite haste damit auch die Winkel.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Freikoerperlaterne.png Schau dir das hier mal an. Ich denke, dass danach n bisschen was klarer wird :-)
Dies ist eine Aufgabe zur Vektorrechnung. Du musst die (in vertikaler Richtung wirkende) Gewichtskraft G = m*g der Lampe vektoriell in eine Summe von zwei in die Richtungen der Spannseile zeigenden (betragsgleiche) Kräften zerlegen.
Bei sehr kleinem Durchhang (und nur 10 cm Durchhang auf eine Gesamtspannweite von 30 Metern ist wirklich sehr, sehr wenig !) wird zwangsläufig die Spannkraft im Zugseil sehr groß. Und dabei ist das Eigengewicht dieses Spannseils noch nicht einmal einberechnet - aber dieses soll man (wie ich die Aufgabenstellung auffasse) wohl einfach vernachläßigen.
Naja bei maximal 30 kN Zuglast im Seil und möglichen Seilspannungen von Stahlseilen von 170 kN/cm² ergäbe sich selbst bei einer Sicherheit von 2 ein erforderlicher Seilquerschnitt von "nur"
A = Sicherheit * F / sigma = 2 * 30 kN / 170 kN/cm² = 0,35 cm²
Damit ergäbe sich ein Gesamtvolumen des Stahlseils von
30 m * 0,35 cm² / 10000 cm² * m² = 0,0011 m³
Bei einer Dichte von 7850 kg/m³ liegt die Stahlmasse dann bei 8,3 kg.
Das ist um Verhältnis zur Nutzlast natürlich nicht zur vernachlässigen.
Bei 50 cm Durchhang liegt das Eigengewicht eines Stahlseils bei nur noch 1,7 kg, da ist der Einfluss schon relativ gering.
Nimmt man jedoch ein Kunstfaserseil wie Dyneema ergibts sich eine Zugfestigkeit von eher 350 kN/m² bei einer Dichte von 1000 kg/m³ bringt das Seil nurmehr 0,5 kg auf die Waage.
Das eigentliche praktische Problem bei dieser Aufgabe ist auch weniger das vernachlässigte Eigengewicht sondern die Verankerung!
Wer würde denn ein Seil spannen das auf beiden Seiten mit 30 kN im Untergrund zu verankern ist, wenn dabei nur eine Lampe von 20 kg getragen werden soll!?
Die Aufgabe ist wohl auch darauf ausgelegt, dass man mindestens die 50 cm Durchhang wählen sollte, das die Schüler erkennen ein Seil ohne (sichtbaren) Durchhang würde zu unverhältnismäßigen Seilzugkräften führen.
Das ist relativ einfach, da brauchst du keine Vektorrechnung.
Ein Seil kann nur Zugkräfte in seine Richtung tragen.
Schräge Kräfte teilen sich immer auch wie Längen.
Wenn die Lampe in der Mitte hängt, trägt jede Seite die Hälfte der Lampenmasse.
Du hast einen Durchhang von 10 cm auf 15 Meter (bis zur Position der Lampe).
Es reicht eine Verhältnisgleichung:
Die 10 cm Länge in vertikaler Richtung entsprechen der vertikalen Lastkomponente im Seil, was wiederum 50% der Gewichtskraft der Lampe sind.
Die 15 m = 1500 cm Länge in horizontaler Richtung entsprechen der unbekannten horizontalen Kraft im Seil.
Und die Seillänge bis zur Mitte lässt sich mit dem Pythagoras ermitteln, entsprechen dann man auch die Gesamtseillast mit diesem berechnen:
Seillänge bis Mitte = Hypothenuse =
L = Wurzel (10² + 1500²) = 1500 m (der Winkel ist so spitz das die längste Kathete und die Hypothenuse quasi gleich lang sind).
Es gilt nun
vertikale Länge / vertikale Kraft = horizontale Länge / horizontale Kraft = Gesamtlänge / Gesamtkraft
also
10 cm / 20 kg * a = 1500 cm / hor. Kraft = 1500 cm / Gesamtkraft
Wenn wir uns nun in Deutschland befinden gilt a = g = 9,81 m/s².
Also
Gesamtkraft = 20kg * 9,81m/s² * 1500cm / 10cm = 29.430 kg * m / s² = 29.430 N =>
Zulast im Seil = 29 kN
Bei 50 cm Seildurchhang ergibt sich eine Hypothenusenlänge von
L = Wurzel (50² + 1500²) = 1500,8 m (wobei auch hier die Genauigkeit der Eingangsgrößen gar nicht zulässt diese Nachkommastelle als genau anzusehen, des Endergebnis sollte wieder auf 2 Stellen gerundet werden)
Die Seilkraft
Gesamtkraft = 20kg * 9,81m/s² * 1500,8cm / 50cm = 5.889 kg * m / s² = 5.889 N =>
Zulast im Seil = 5,9 kN
Naja, auch wenn du sagst, das sei nun keine Vektorrechnung: in Tat und Wahrheit ist es dies halt doch - einfach für Leute dargestellt, die man nicht mit dem Ausdruck "Vektoren" verschrecken will ...
"Ein Seil kann nur Zugkräfte in seine Richtung tragen."
Genau darin steckt schon die Grundidee des Vektorbegriffs (Kräfte haben eine Richtung !)
"Schräge Kräfte teilen sich immer auch wie Längen."
Das kann man mittels Vektorgeometrie dann auch erklären (und nicht nur auswendig lernen).
Unstrittig, aber das System wählt man sich eher so einfach wie möglich. Insbesonder hier fällt auf, dass diese Frage und die Kräfteberechnung in der Physik deutlich früher behandelt werden kann, als in der Mathematik überhaupt erklärt wird, was ein Vektor ist.
Wenn ein 7. Klässler ein Problem mit einem Gleichungssystem hat, ist es zwar fachlich korrekt ihm schlicht eine Multiplikation mit der Inversen Matrix zu empfehlen, wird ihm aber kaum weiterhelfen.
Ich fürchte einfach das für den FS der Verweis auf Vektoren schlicht böhmische Dörfer sind ;-)
Mit der Formel F = m * a erreichst du überhaupt nichts, weil es keine Beschleunigung gibt. Der ,,Tag" Bewegung ist nicht korrekt.
Die korrekte Lösung wird von den anderen Antwortgebern angedeutet. Rechnen musst Du aber selbst! Die Zugkräfte in den Seilen sind aber wesentlich höher als die Gewichtskraft der Lampe!!
Doch es gibt eine Beschleunigung!
Ohne Beschleunigung gäbe es hat keine Kraft auf der Masse, genau das sagt
F = m * a ja aus.
Wichtig ist zu verstehen das es Beschleunigung auch ohne Bewegung gibt. Schafft man eine Gegenkraft die die Kraft aus der Beschleunigung aufhebt, verbleibt eine resultierende Beschleunigung von 0, aber die Wirkung der Natur ist permanent vorhanden.
Na ja, ob eine Beschleunigung von Null eine Beschleunigung ist, darüber kann man streiten. Ich habe insofern Recht erhalten, dass KEINE der Antwortgeber die Gleichung F = m*a verwendet hat. Und die ähnliche Gleichung F = m*g wird nur benützt um die Gewichtskraft zu berechnen.
Im Beispiel ist mit a dasselbe wie g gemeint. Dies ist die Beschleunigung der Lampe gegenüber einem frei fallenden, also "schwerelosen" Koordinatensystem im Sinne Einsteins.
im Sinne Einsteins.
Wenn irgendwelche Zusammenhänge in GF nicht verstanden werden oder nicht erklärt werden können, muss Einstein oder die Quantentheorie herhalten. Das Problem mit der Lampe am Spannseil ist ein Problem der klassischen Statik und hat mit den Theorien von Einstein überhaupt nichts zu tun. Und wenn jemand dann mit Einstein und ,,schwerelosem Koordinatensystem" auftaucht (obwohl die Lampe sich im Schwerkraftfeld befindet) , beweist das für mich nur eines: ,,Zu weit aus dem Fenster gelehnt!" Ich bin dadurch überrascht, weil die Diskussionen weiter oben doch einen recht vernünftigen Eindruck machen. (Das darf ich als Maschinen-Ingenieur doch beurteilen)
Im Beispiel ist mit a dasselbe wie g gemeint
Hat das die Fragestellerin gesagt? Dann soll sie g schreiben und nicht ,,meinen". Ansonsten gilt der begründete Verdacht: Nix verstanden!
Bemerkung: in einer genauen Rechnung dürfte man eigentlich nicht von einer so einfachen Geometrie (mit rechtwinkligen Dreiecken und geradlinig straff gespannten Zugseilen) rechnen. In Wirklichkeit würden die Spannseile selber auch noch durchhängen und "Kettenlinien" bilden. Das Eigengewicht der Seile müsste auch berücksichtigt werden, denn auf 30m Länge wäre dieses wohl nicht wirklich "vernachläßigbar".