Wie berechnet man den Punkt auf einer geraden, wo der Abstand zum ortsvektor am kürzesten ist?
2 Antworten
Befinden wir uns in ℝ² oder ℝ³ oder in einem anderen Vektorraum?
Ich gehe im Folgenden mal von ℝ³ aus.
====== Situation ======
Man hat eine Gerade g in Parameterform gegeben...
... und den Ortsvektor eines Punktes P gegeben...
Und man such nun den Punkt Q auf der Geraden g, so dass der Abstand von P zu Q minimal wird.
====== Bemerkung ======
Die Rechnungen, die du im Folgenden bei mir sehen wirs, sehen so allgemein gehalten vielleicht komplizierter aus, als sie evtl. sind. Wenn du das an einem konkreten Beispiel nachvollziehst, ist es wahrscheinlich einfacher. Lass dich also nicht von den bei mir allgemein dargestellten Rechnungen abschrecken.
====== 1. Lösungsvorschlag ======
Grundlegende Idee: Betrachte eine Ebene E senkrecht zu g durch den Punkt P. Schneide diese Ebene mit der Geraden g.
Der kleinste Abstand ist dann (hoffentlich bekanntermaßen) gegeben, wenn die Strecke [PQ] orthogonal/senkrecht zur Geraden g verläuft.
Um den entsprechenden Punkt Q zu finden, kann man nun die Ebene E betrachten, die orthogonal/senkrecht zur Gerade g ist und in der der Punkt P enthalten ist.
Die Orthogonalität zur Gerade g erreicht man, indem man den Richtungsvektor von g als Normalenvektor der Ebene E verwendet. Als mögliche Gleichung der Ebene E erhält man dann...
Nun sucht man den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden g, dazu kann man das entsprechende Gleichungssystem lösen, indem man die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzt.
Setzt man diesen Parameter dann in die Geradengleichung ein erhält man den Ortsvektor des gesuchten Punktes q.
====== 2. Lösungsvorschlag ======
Grundlegende Idee: Stelle allgemein für jeden Punkt der Geraden g den Abstand zum Punkt P auf. Minimiere diesen Abstand mit Hilfe von Analysis (1. Ableitung bilden, Nullstelle der ersten Ableitung suchen, etc.).
Abstand des Punktes P zu einem Punkt X auf der Geraden g...
1. Ableitung der Abstandsfunktion bzgl. s bilden...
Nullstelle dieser 1. Ableitung suchen...
Setzt man diesen Paramterwert in die Geradengleichung von g ein, erhält man den Ortsvektor des gesuchten Punktes Q.
====== 3. Lösungsvorschlag ======
Grundlegende Idee: Orthogonalprojektion des Punktes P auf die Gerade g.
Betrachte einen beliebigen Punkt auf der Geraden g, beispielsweise den Stützpunkt A der Geradengleichung. Berechne den zu g (bzw. zum entsprechenden Richtungsvektor u) parallelen Anteil des Vektors AP. Addiere diesen parallelen Anteil zum Ortsvektor von A, um den Ortsvektor des gesuchten Punktes Q zu erhalten.
Das Skalarprodukt aus dem Differenzvektor zwischen einem Punkt auf der Geraden und dem gegebenen Punkt und dem Richtungsvektor der Geraden muss 0 sein. Damit kann der Parameter in der Geradengleichung bestimmt werden.