Wie berechne ich den Winkel (Alpha) element [0, 2Pi), für den sowohl der Sinus- als auch der Kosinuswert bekannt sind?

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5 Antworten

Ein möglicher Lösungsweg:

G = Gegenkathete
A = Ankathete
H = Hypothenuse

sin(a) = G / H
cos(a) = A / H
tan(a) = G / A

-> sin(a) / cos(a) = tan(a)

Oder man weiss das auswendig, dann muss man es sich nicht mehr herleiten...

-> arctan ( sin(a) / cos(a) ) = a

Danielratlos 20.01.2017, 14:12

Ja aber was mach ich, wenn ich z.B. für sin(Alpha)= -0,706 und für cos(Alpha)= 0,709 gegeben hab.
Laut dem Lösungsblatt kommt Alpha = 5,5 raus, aber das versteh ich nicht

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Australia23 20.01.2017, 14:31
@Danielratlos

Nach oben genannter Formel:

a = arctan (-0.706 / 0.709) = -44.88° = -0.78 (Radiant)

-0.78 + 2pi = 5.5

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Danielratlos 20.01.2017, 14:43
@Australia23

Ok und wie berechne ich den Bogenmaß aus dem Gradmaß? :D

Sorry, ich bin nicht gerade eine Leuchte in Mathe :D

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Australia23 20.01.2017, 14:46
@Danielratlos

Kreisumfang in Bogenmass = 2pi
Kreisumfang in Gradmass = 360 °

-> x (Radiant) = x° / 360° * 2pi

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Junkpilepunk 20.01.2017, 14:15

Warum so kompliziert über den tangens? :D

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Junkpilepunk 20.01.2017, 14:30
@Australia23

aber über asin() oder acos() hat man trotzdem einen rechenschritt weniger :D bzw weniger in den TR einzugeben

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Australia23 20.01.2017, 14:21

Korrekt wäre eigentlich:

arctan( sin(a) / cos(a) ) + n*pi = a

Da der Tangens ja pi-periodisch ist.

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Du hast gegeben:

sin α = -0,706
cos α = 0,709

Für die Bestimmung von α reicht dir eigentlich schon eine der beiden Gleichungen, ich nehme hier mal die erste:

sin α = -0,706 α = sin⁻¹(-0,706) -0,7838 -44,91°

Für die zweite Gleichung:

cos α = 0,709 ⇔ α = cos⁻¹(0,709) 0,7827 44,85°

Die Rechenungenauigkeit mal außer Acht gelassen, sind lediglich die Beträge der Winkel (fast) gleich groß.

LG Willibergi

Danielratlos 20.01.2017, 14:23

Wie kommt dann mein Dozent auf die Lösung Alpha=5.5? Laut junkpilepunk ist das der Winkelmaß im Bogenmaß, aber wie mach ich das?

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Willibergi 20.01.2017, 14:59
@Danielratlos

5,5 im Bogenmaß wären knapp 315,1° im Gradmaß. In dem Sinne also auch nicht richtig.

Wenn dein Dozent behauptet, sin α = -0,706 ⇔ α = 5,5, dann behauptet er Schwachsinn. ;)

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Die Sinusfunktion nimmt auf dem Interval [0,2pi) jeden Wert zwischen -1 und 1 genau zweimal ein. Das heißt zu jedem Wert zwischen -1 und 1 gibt es zwei verschiedene Winkel aus [0,2pi), deren Sinus der gegebene Wert ist. Für das Beispiel b) gilt (gerundet):

sin(5.499) = -0.706 und
sin(3.925) = -0.706

Die meisten Taschenrechner geben einem bei sin^-1 einen Winkel aus (-pi/2, pi/2] zurück. Hier z.B sin^-1(-0.706) = -0.784. Man erhält in diesem Fall dann einen Winkel aus [0,2pi) indem man 2pi addiert, also

 0.784 + 2pi = 5.499

 Den anderen erhält man durch die Gleichung sin(x) = sin(pi-x). Hier also

 pi - -0.784 = pi + 0.784 = 3.925

Wenn es also einen Winkel aus [0,2pi) gibt, der beide Gleichungen erfüllt, dann muss es 5.499 oder 3.925 sein. Bei einem von beiden ist der Kosinus positiv, beim anderen negativ. Hier ist cos(5.499) = 0.708. Das soll dann wohl (gerundet) die Lösung sein.

cos braucht man nicht, da es nur eine verschobene sin-Funktion ist.

Umkehrfunktion lautet asin(x)+2Pi*n

bei b) also -Pi/4+2Pi=Pi*7/4=5.497787...

Man kann natürlich die asin-Funktion jedes mal selbst berechnen,
oder schaut in fertige Tabellen wie
http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm

315° = Pi*7/4 und
-1/sqrt(2)=-sin(Pi/4)=-0.7071...

Im Trigonometrischen Kreis kannst Du sehen wie Sinus und Kosinus in den jeweiligen Quadranten sind.

Du siehst Sinus hat einen negativen Wert und Kosinus einen positiven Wert.

Nun in welchem Quadrant ist Sinus - und Kosinus + (kannst Du aus meinen 2 hinzugefügten Bildern entnehmen.

Ja es ist im 4. oder (IV:) Quadrant).

Der winkel liegt also im 4 Quadrant also zwischen 1,5∏ (270°) und 2∏ (360°).

Die Werte die Du also für cos^(-1) und sin^(-1) kriegst musst Du zu 270 dazuzählen, oder von 360° abziehen.

Du krigst zum Beispiel sin^(-1) von -0,706 = 44,9° ~ 45° = ∏ / 4 = 0,25∏

also 1,5∏+ 0,25∏ = 1,75∏ = 1,75 * 3,14 = 5,5 RAD. (heißt Radiant)

Sinus - (Schule, Mathe, Mathematik) Kosinus - (Schule, Mathe, Mathematik)

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