Wie berechne ich das hier beschriebene Oberflächenintegral?
Hallo! Gegeben ist die unterstehende Aufgabe.
Wie genau muss ich hier vorgehen, dass ich das gewollte ergebnis finde? Und was ist überhaupt mit Durchschnitt gemeint? Danke im Voraus !
LG
1 Antwort
Durchschnitt: Der Teil, der zu allen genannten Körpern gehört. (Bzw. die Schnittmenge der Mengen der Punkte der genannten Körper.)
Erst mal brauchst du die Oberfläche des Schnittkörpers.
Dazu würde ich damit anfangen, die Schnittlinie(n) der beiden Zylinder-Oberflächen zu bestimmen.
Die Schnittlinien teilen die Oberfläche in Untergebiete ein. Weil es sich um einen Schnittkörper handelt, kommt es darauf an, welcher Zylinder in diesen Gebieten weiter innen liegt. Innerhalb eines Gebietes erfüllt die Oberfläche die Gleichung der Oberfläche des Zylinders, der hier innen liegt.
Jedes Oberflächengebiet versiehst du mit Parameter-Koordinaten - hier kannst du die gegebenen (kartesischen) Koordinaten nehmen. Aus den Parametern bestimmst du den Oberflächen-Normalenvektor. (Wie man Tangentialvektoren und Normalenvektoren bestimmt, solltet ihr vorgeführt bekommen haben. Beachte, dass der Oberflächennormalenvektor nach außen zeigen muss (so ist die Übereinkunft für Oberflächenintegrale).
Dann "nur" noch Skalarprodukt mit F bilden und über den Definitionsbereich der Parameter integrieren (zwei Integrale ineinander). Das Ergebnis ist die Summe all dieser Integrale.
Während das bereits sehr hilfreich war, muss ich leider sagen, dass ich damit leider nicht ganz bis zum Ende damit komme. Ich habe die Fläche in 8 mal die selbe Form aufteilen können, weshalb ich jetzt eigentlich nur noch die eine Form berechnen müsste, aber ich weiß leider nicht, wie ich diese mit Parametern darstellen kann und daher finde ich den Normalenvektor auch nicht.
Die Form, die ich gefunden habe, nennt sich ein Steinmetz-Körper, welcher dann in 8 Teile geteilt wurde. Irgendwelche Ideen, wie ich weiter vorgehen könnte?