Wie bekommt man die Eigenvektoren raus?

Hallo, ich komm bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Ich will die Aufgabe b) machen und mein Ansatz ist folgender:

Ich bin mir nicht ganz sicher, da der Eigenwert = -1 ist ob man dann in der Matrix +1 schreibt, da dir Formel ja (M - EW * I) ist.
Hab's aber auch schon mit einer Matrix mit -1 probiert und kam auch nicht weiter...

Die Lösung soll sein:

Ich verstehe aber absolut nicht wie man da hin kommt.

Answer 1

[verreisterNutzer]

Ich hätte das jetzt anders aufgeschrieben, läuft aber auf dasselbe raus:

Die beiden letzten Zeilen Deiner Matrix bedeuten, dass z und y frei wählbar sind (es bleibt ja immer die wahre Aussage 0 = 0). Aus der ersten Zeile ergibt sich dann:

$x+2y−z=0→x=−2y+z$

und damit wären die Eigenvektoren:

(-2y + z, y, z)^T mit y, z ∈ ℝ

Das kann man natürlich dann auch (etwas "überkomplex") so schreiben, wie es in Deiner Musterlösung steht.