Wer kann mir bei dieser Mathe Steckbriefaufgabe helfen siehe Foto?
Also ich hätte da bisher 1x f(x) B (4/0), 1x f(x)A (0/4), 1x f(x) C (2/1) genommen. Was noch? Es heißt ja tangential einmünden aber was soll ich damit anfangen?
Mit freundlichen Grüßen
3 Antworten
Die Aufgabe is extrem easy!
Steigung der Geraden m=(y2-y1)7(x2-x1)=(0-4)/(4-0)=-4/4=-1
Geradengleichung y=f(x)=m*x+b=-1*x+4 bei x=0 ist f(0)=4=b
Tangential, bedeutet,daß die Funktion f(x) die selbe Steigung hat,wie die Gerade an den Stellen A(0/4) und B(4/0)
f(x)=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao mit x=0 ist f(0)==4 also ist ao=4
f´(x)=3*a3*x^2+2*a2*x+a1
1) a3*4^3+a2*4^2+a1*4=-4 aus B(4/0)
2) a3*2^3+a2*2^2+a1*2=-4+1 aus C(2/1)
3) 3*a3*4^2+2*a2*4+1*a1=-1 aus f´(4)=m=-1
dieses LGS schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit
1) 64*a3+16*a2+4*a1=-4 aus B(4/0)
2) 8*a3+4*a2+2*a1=-3 aus C(2/1)
3) 48*a3+8*a2+1*a1=-1 aus f´(4)=m=-1
Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) a3=-1/8 a2=1 a1=-3 und ao=4 haben wir bereits aus f(0)=4 also ao=4
gesuchte Funktion y=f(x)=-1/8*x^3+x^2-3*x+4
Prüfe auf Rechen- u. Tippfehler.
Ich hab hier watt überseh´n.
Die Funktion f(x) soll jar tangential an den Punkten A(0/4) und B(4/0) anschließen
Dazu verwenden wir eine "ganzrationale Funktion 4.ten Grades"
f(x)=a4*x^4+a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao mit x=0 also f(0)=4 ist ao=4 abgeleitet
f´(x)=4*a4*x^3+3*a3*x^2+2*a2*x+a1
1) a4*4^4+a3*4^3+a2*4^2+a1*4=-4+1 aus C(2/1) also f(2)=1
2) a4*4^4+a3*4^3+a2*4^2+a1*4=-4 aus f(4)=0
3)4*a4*4^3+3*a3*4^2+2*a2*4+1*a1=-1 aus f´(4)=m=-1
4) 4*a4*0^3+3*a3*0^2+2*a2*0+1*a1=-1 aus f´(0)=m=-1
Das LGS schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht
1) 16*a4+8*a3+4*a2+2*a1=-3 aus C(2/1)
2) 256*a4+64*a3+16*a2+4*a1=-4 aus B(4/0) also f(4)=0
3) 256*a4+48*a3+8*a2+1*a1=-1 aus f´(4)=m=-1
4) 0*a4 +0*a3 +0*a2+1*a1=-1 aus f´(0)=m=-1
Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) a4=-1/16 a3=1/2 a2=-1 a1=-1 ao=4
Gesuchte Funktion y=f(x)=-1/16*x^4+0,5*x^3-x^2-x+4
Probe: abgeleitet f´(x)=-4/16*x^3+1,5*x^2-2*x-1
mit f´(0)=0+0+0-1=-1 Steigung an der Stelle x=0
f´(4)=-4/16*4^3+1,5*4^2-2*4-1=-1 Steigung an der Stelle x=4
Ich glaub,daß hättest du auch selber geschafft,is ja nur die selbe Rechnung mit der ganzrationalen Funktion 4.ten Grades.
Es heißt ja tangential einmünden aber was soll ich damit anfangen?
Du erinnerst dich hoffentlich: Eine Tangente ist eine Gerade, die die Funktion (hier die grüne gerade Straße) in einem Punkt berührt. Die Steigung der Tangente (Tangentensteigung) ist das Gleiche wie die Ableitung, nämlich die Steigung in dem Punkt.
Das heißt: Die Steigung der grünen Straße als Gerade entspricht im Punkt A und B genau der der Umgehungsstraße in rot.
Demnach berechnest du zuerst die Steigung der Gerade in grün, indem du die Punkte A und B in den Differenzenquotienten einsetzt:
m = (0-4)/(4-0)
m = -4 : 4
m = -1
Du weißt nun also: Im Punkt A und B hat die Umgehungsstraße die Steigung m=-1.
Demnach kannst du mit der Ableitung folgende Bedingungen aufstellen:
f'(0) = -1
f'(4) = -1
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Wie bist du jetzt auf die -1 gekommen AHH verstehe das kann man ja eigentlich ablesen das ist ja die Steigung ok danke!
Du setzt einfach die insgesamt vier Koordinaten der Punkte A und B in die Gleichung im Bild, den Differenzenquotienten, ein ;)
Bitteschön.
Ok danke und noch was:
B (4/0) ist ja eine Nullstelle, kann man dafür nicht eigentlich f(x)=0 statt f(x)= y nehmen? Und was macht man bei doppelten nulstellen bei Steckbriefaufgaben, was nimmt man dann?
B (4/0) ist ja eine Nullstelle, kann man dafür nicht eigentlich f(x)=0 statt f(x)= y nehmen?
Verstehe die Frage nicht ganz. y ist hierbei ja nichts anderes als die y-Koordinate, die an einer Nullstelle eben 0 ist. Ob f(x) = 0 oder f(x) = y ist hier also so gesehen das Gleiche.
B(4|0) ergibt die Bedingung f(4) = 0.
Und was macht man bei doppelten nulstellen bei Steckbriefaufgaben, was nimmt man dann?
Eine doppelte Nullstelle heißt im Gegensatz zu einer einfachen Nullstelle (also einer "normalen"), dass die x-Achse hier berührt, und nicht geschnitten wird. Die Nullstelle ist also auch eine Berührstelle. Sie berührt die x-Achse, schneidet sie aber nicht. Das heißt auch: An der Nullstelle ist die Steigung m=0. Das bedeutet, dass wir einen Extrempunkt oder Sattelpunkt vorliegen haben. Anschließend musst du schauen, ob ein spezieller Wendepunkt, also der Sattelpunkt überhaupt in Frage kommt. Oft kannst du ihn einfach ausschließen und es ist klar: Es muss ein Extrempunkt sein.
Ein Sattelpunkt würde sein Vorzeichen im Gegensatz zum Extrempunkt nicht ändern. Vorher ist der Graph z.B. gestiegen und nach dem Sattelpunkt steigt er wieder. Bei einem Hoch- oder Tiefpunkt würde er erst steigen und dann fallen.
Oft hast du wie hier auch mal einen Graphen vorliegen oder durch die restlichen Bedingungen kannst du das wie gesagt ausschließen.
Wenn ich die Frage richtig verstehe sollst du ja die Gleichung für die rote Linie aufstellen. Tangential einmünden würde ich so verstehen, dass an den Punkten A und B die Tangente der neuen Gleichung gleich der Tangente der direkten Strecke A->B ist. Also f'(0) = -1 und f'(4) = -1
Ich glaub du rechnest pro Tag über 10 Mathe Aufgaben hier auf gf.net und hältst dich damit fit Respekt!