Wenn in einer Schulklasse 20 leute sind und alle ein Geschenk aus einem Stapel ziehen. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit das Jemand sein Eigenes zieht?

Du kannst jedes Ergebnis beim Ziehen als Permutation der 20 Leute betrachten (also eine Anordnung der 20 Leute, sodass die Person an k. Stelle dafür steht, wen die k. Person gezogen hat).

Die Fragestellung ist also äquivalent dazu, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Permutation mindestens einen Fixpunkt besitzt (Fixpunkt = Person zieht sich selbst).

Das Problem wird hier genauer beschrieben:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation

Dort ist auch ein Term gegeben, mit dem du berechnen kannst, wie die Wahrscheinlichkeit für keinen Fixpunkt ist.

Du wirst in dem Artikel auch sehen, dass die Wahrscheinlichkeit gegen 1/e geht, wenn die Anzahl immer größer wird. Da die Wahrscheinlichkeit sehr schnell gegen 1/e konvergiert, kannst du diesen Wert als annäherung nehmen, statt es mit der Aufwendigen Formel zu berechnen, da du schon damit sehr genau bist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 20 Leuten sich niemand selbst zieht ist nämlich nach Formel ca 0.3679, 1/e ist auch ungefähr 0.3679.

Somit ist bei 20 Personen die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Person sich selbst zieht, ca 1-1/e ≈ 0.6321.

In dieser Situation ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler sein eigenes Geschenk zieht, relativ gering. Es gibt insgesamt 20 Schüler und 20 Geschenke, sodass jeder Schüler ein Geschenk ziehen kann. Wenn jeder Schüler ein Geschenk zieht, bleiben keine Geschenke übrig, die noch einmal gezogen werden könnten. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand sein eigenes Geschenk zieht, genau 1 zu 20