Wenn ich einen Vektorraum V über K habe, und W1 und W2 sind Unterräume von V, warum ist W1 U W2 kein Untervektorraum von V?

W1 U W2, warum ist die Vereinigungsmenge nicht ein Untervektorraum von V?

An sich kommen da ja nur Elemente rein, die auch in V liegen?

2 Antworten

Jangler13

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik, lineare Algebra, Mathematik

09.10.2022, 16:10

Einfaches Gegenbeispiel:

V = R^2

W1 = die Menge der Vektoren der Form (x,0)

W2 = die Menge der Vektoren der Form (0,y)

Dann sind (1,0) und (0,1) in der Vereinigung enthalten, (1,1)=(0,1)+(1,0) jedoch nicht.

Somit ist die Vereinigung kein Untervektorraum

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

kadwin0

Fragesteller

09.10.2022, 16:14

Danke, aber woher weißt Du z. B. direkt, dass man sagt W1= (x,0) ist ein Untervektorraum? Also wie siehst Du das, ohne die Eigenschaften auszutesten?

Jangler13

09.10.2022, 16:15

@kadwin0

Der Raum wird vom ersten Einheitsvektor aufgespannt.

kadwin0

Fragesteller

09.10.2022, 16:18

@Jangler13

Danke, aber wie meinst Du das? Kann man direkt sagen, wenn man eine Teilmenge nimmt, die eine unendliche Teilmenge entspricht, wobei alle Elemente eine gleiche Eigenschaft haben, wie hier z. B., dass bei allen ein Element im Tupel immer 0 ist, dass das ein Untervektorraum ist ohne groß zu prüfen?

Jangler13

09.10.2022, 16:24

@kadwin0

Danke, aber wie meinst Du das?

Das werdet ihr sicher noch lernen.

Kann man direkt sagen, [...]

Nein

DerRoll

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik, lineare Algebra, Mathematik

09.10.2022, 15:27

An sich kommen da ja nur Elemente rein, die auch in V liegen?

Das schon. Das Problem ist das W_1 U W_2 im allgemeinen nicht abgeschlossen gegenüber den Vektorraumoperationen ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum#Durchschnitt_und_Vereinigung

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

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