Welche Beziehung muss für die Koeffizienten der Funktion f(x) x^3 +bx^2+cx+d gelten, damit der Graph von f zwei, genau eine bzw. keine waagerechte Tagente hat?
Hallöchen, ich wollte mal wieder in die Runde fragen, da ich als Mama bei dieser Aufgabe mal wieder nicht weiter komme. Durch den Online Unterricht ist alles sowieso nicht so leicht und meine Tochter sowie ich kommen bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Könnte uns da jemand helfen. Wäre super! Dankeschön im vorraus
3 Antworten
"Eine waagrecht Tangente haben" bedeutet, dass die FUnktion an dieser Stelle eine Steigung von 0 hat.
Die Steigung einer Funktion berechnet sich über die Ableitung. Ist die Steigung an einer Stelle 0, dann bedeutet es, dass die Ableitung der Funktion an dieser Stelle 0 sein muss.
Ich hoffe du kannst ableiten, falls nicht frag nach, aber ich geb sie jetzt eifnach an.
f'(x)=3x²+2bx+c =0
Wie du siehst ist das eine quadratische Funktion. Die hat entweder 2, 1 oder gar keine Nullstellen. Berechnen tut man die Nullstellen mit der pq-Formel.
Das durch drei teilen passt, jap.
Jetzt quasi p und q ablesen:
x²+px+q=0
-> p=2/3*b, q=1/3*c
Das ganze jetzt in die pq-FOrmel einsetzen:
x1,2= -p/2 +- Wurzel aus ((p/2)²-q)
x1,2= -(2/6*b) +- Wurzel aus((2/6*b)²-1/3*c)
Jetzt ist wichtig zu wissen, dass du hier 2 Lösungen haben wirst, wenn das unter der Wurzel positiv ist. Du wirst eine Nullstelle haben, wenn das unter der Wurzel gleich 0 ist. Und du wirst keine Nullstelle haben, wenn das unter der Wurzel negativ ist. Für die Aufgabe reicht es also nur das unter der Wurzel anzuschauen.
Es gilt also:
(2/6*b)²-1/3*c > 0 -> zwei Nullstellen
(2/6*b)²-1/3*c = 0 -> eine Nullstelle
(2/6*b)²-1/3*c < 0 -> keine Nullstelle
Das ganze kann man jetzt noch etwas vereinfachen:
(2/6b)^2=4/36b²=1/9b²
Dann steht in den Ungleichungen:
1/9*b²-1/3*c >=< 0 /*3
1/3*b²-c >=< 0 /+c
1/3*b² >=< c
Damit bist du fertig:
Wenn 1/3*b² größer ist als c, dann hast du zwei Nullstellen, wenn es gleich c ist eine und wenn es kleiner als c ist hast du keine Nullstellen.
einfach eine Kurvendiskussion durchführen
waagerechte Tangente → Steigung f´(x)=m=0
Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0
Bedingung Minimum f´(x)=0 und f´´(x)>0
1) f(x)=x³+b*x²+c*x+d nun ableiten
2) f´(x)=m=0=3*x²+2*b*x+c
3) f´´(x)=6*x+2*b
2) ist eine Parabel der Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
0=3*x²+2*b*x+c dividiert durch 3
0=x²+2/3*b*x+c/3 hat die Form 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel
x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
p=2/3*b und q=c/3
eingesetzt
x1,2=-2*b/(3*2)+/-W((2*b/(3*2)]²-c/3)=-b/3+/-Wurzel(b²/4-c/3)
Lösbarkeitsregeln für die quadratische Gleichung 0=x²+p*x+q
Diskriminante D=(p/2)²-q
1 Fall: D>0 → 2 reelle verschiedene Lösungen (2 Schnittstellen mit der x-Achse)
2 Fall: D=0 → 2 gleiche reelle Lösungen x1=x2=x (doppelte Nullstelle,Graph berührt hier nur die x-Achse)
3 Fall D<0 → 2 konjugiert komplexe Lösungen (Graph liegt komplett über oder unter der x-Achse)
siehe Mathe-Formelbuch → komplexe Zahlen
z1=Realteil+ i Imaginärteil → z2=Realteil - i Imaginärteil
also Radikand 0=b²/4-c/3 → c/3=b²/4 → c=3/4*b² doppelte Nullstelle
x1=x2=x nur 1 Stelle,wo die Steigung f´(x)=m=0 ist waagerechte Tangente
2) 0=b²/4-c/3 → (b²/4)>c/3 dann 2 Stellen,wo f´(x)=m=0 2 waagerechte Tangenten
3) (b²/4)<c/3 dann D<0 keine Stelle wo f´(x)=m=0 (Parabel liegt komplett über oder unter der x-Achse, → keine reelle Lösung)
Du hast einen Flüchtigkeitsfehler unter der Wurzel:
(2*b/(3*2))²=(2b/6)²=4b²/36= 1/9*b²
Nicht wie bei dir 1/4*b²
Evtl. kannst du das noch verbessern? Da hängt halt leider das komplette Ergebnis dran ;)
Stimmt,hast recht !!
Kann ich leider nicht ändern.
Problem:Eine Überprüfung auf Richtigkeit ist für mich viel Aufwand und ich bekomme hier auch für meine Arbeit nichts bezahlt.
Die Fragesteller müssen immer auf rechen- und Tippfehler prüfen,was ich auch meistens unten angebe.
Damit die Funktion eine Waagerechte Tangente hat, muss die Ableitung 0 sein.
Bestimme also die erste Ableitung.
Diese ist eine Funktion 2. Grades, also eine Parabel. Hier müsstest du wissen, wann sie zwei/eine bzw keine Nullstelle hat.
Ja ich habe die Formel dann mit durch 3 aufgelöst und hatte dann f´(x) x^2+2/3bx +1/3c =0 aber wie setze ich das jetzt in die pq Formel ein, normaler weise fällt mir das leicht, bei dieser Formel jedoch nicht. Könnten sie mir da weiter helfen?