Was wiegt Kugel A und was wiegt Kugel B?
Du hast 2 kugeln die zusammen 20kg wiegen. Pro Kilogramm ist die größere Kugel um 2 Euro billiger als kleinere Kugel .
Der Preis für große Kugel ist 296 und der Preis für die kleine Kugel 82.
Was wiegt die große und was die kleine Kugel.
Bitte mit Rechenlösung :) .
8 Antworten
Meine letzte Mathe-Stunde liegt zwar schon -zig Jahre zurück, aber ich denke mal die Gleichung dazu ist:
296/(x-2)+82/x=20
Oder liege ich daneben?
(Lösung wäre dann 16kg und 4kg)
Hallo,
Du mußt die Aufgabe in ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten umformulieren.
x ist gleich dem Gewicht der größeren Kugel,
y ist gleich dem Gewicht der kleineren Kugel.
Damit lautete die erste Gleichung:
x+y=20
z ist gleich dem Preis pro Kilo einer Kugel, egal von welcher.
Sagen wir, z soll gleich dem Kilopreis der kleineren Kugel sein.
Dann ist der Kilopreis der größeren Kugel z-2.
So kommen wir zu den beiden anderen Gleichungen.
xkg*(z-2)€=296 €
ykg*z €=82 €
Daraus folgt:
x=296/(z-2)
y=82/z
Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten:
296/(z-2)+82/z=20
Nun bringen wir alles auf einen Nenner, indem wir die Gleichung mit dem Hauptnenner z*(z-2) multiplizieren und, wo es möglich ist, kürzen:
296*z+82*(z-2)=20*z*(z-2)
Da alle Faktoren gerade sind, können wir zunächst durch 2 teilen (muß man nicht, macht die Zahlen aber kleiner):
148z+41(z-2)=10z(z-2)
Nun lösen wir die Klammern auf:
148z+41z-82=10z²-20z
Nun fassen wir die z-Glieder zusammen und bringen alles auf eine Seite der Gleichung und sortieren sie nach absteigenden Exponenten:
10z²-209z+82=0
Nun hast Du eine quadratische Gleichung, die Du nach der pq-Formel berechnen kannst. Dazu mußt Du sie allerdings zunächst durch 10 teilen, da Du die pq-Formel nur anwenden kannst, wenn vor dem z² kein anderer Faktor als eine 1 steht:
z²-20,9z+8,2=0
z₁=10,45+√(10,45²-8,2)=20,50 €
z₂=10,45-√(10,45²-8,2)=0,40 €
Die Lösung 0,40 € scheidet aus, da wir in diesem Fall für x ein negatives Ergebnis bekämen: x=296/(0,4-2)=(-185).
Bleibt also ein realistischer Preis von 20,50 € für die kleine und 18,50 € für die große Kugel pro Kilo.
Somit wiegt die große Kugel 296/18,50=16 kg
und die kleine 82/20,50=4 kg.
Zusammen wiegen sie, wie es sich laut Aufgabenstellung gehört, 20 Kilogramm.
Herzliche Grüße,
Willy
Statt pq kann man doch auch die Mitternachtsformel nehmen, oder?
Hab’s mit Mathe nicht so...
Klar. Aber die pq-Formel kann man sich leichter merken.
Leitet sich sowieso alles von der quadratischen Ergänzung ab.
Ich finde Mitternacht leichter zu merken, aber so unterscheiden sich die Meinungen 😉
wie ist man eigentlich auf die Formeln gekommen? Hab schon gefühlt 100 probiert, könnte aber weder pq noch Mitternacht herleiten...
Heutzutage würde ich die Aufgabe übrigens wie Oubyi angehen; ist viel einfacher.
Mein Rechenweg von damals war viel zu umständlich.
Wie man die pq-Formel bzw. die abc-Formel herleitet, kann ich Dir zeigen:
Zu lösen ist die Gleichung ax²+bx+c=0
Wenn Du die ganze Gleichung durch a teilst, wird sie handlicher:
x²+(b/a)x+c/a=0
Damit es noch handlicher wird, nennst Du b/a einfach p und c/a nennst Du q:
x²+px+q=0
Das läßt sich nicht so einfach nach x auflösen, weil x einmal quadriert vorliegt und einmal linear, Du hast also einmal ein x² und einmal ein x in der Gleichung.
Irgendwann ist jemand Schlaues mal auf die Idee gekommen, daß man dieses Durcheinander von quadratisch und linear ganz einfach beseitigen kann, wenn man die erste binomische Formel (oder auch die zweite) benutzt.
Bekanntlich ist a²+2ab+b² das Gleiche wie (a+b)².
In (a+b)² tauchen aber a und b in der Klammer nur noch in einfacher Form auf, das Quadrat ist nach außen gewandert.
Das klappt aber nur, wenn der nichtquadratische Summand dem Doppelten Produkt der Wurzeln aus den beiden Quadraten entspricht; nur dann läßt sich diese Summe in ein Binom zum Quadrat umwandeln.
x²+px könnte aber, wenn man das zweite Quadrat entsprechend wählt, durchaus so ein Binom ergeben.
px müßte dann das Doppelte von dem Produkt aus x und irgendwas mit p sein.
px ist das Doppelte von (p/2)*x.
Das fehlende Quadrat muß also (p/2)² sein oder p²/4.
Wenn wir also x²+px um p²/4 ergänzen, können wir diesen Ausdruck in
(x+p/2)² umwandeln.
Nun können wir natürlich nicht irgendetwas zu einer Gleichung addieren, weil es uns gerade so paßt. Wir hätten die Gleichung dann ja so verändert, daß sie nicht mehr den gleichen Wert wie vorher hat.
Das macht aber nichts: Wir ziehen p²/4 einfach wieder ab:
x²+px+p²/4-p²/4+q=0
Nun haben wir nichts verändert, denn p²/4-p²/4=0; wir haben also einfach nur etwas hinzugefügt, das Null ergibt und damit nichts bewirkt.
Wir können nun aber die ersten drei Summanden zu (x+p/2)² umwandeln und bekommen (x+p/2)²-p²/4+q=0
Nun -p²/4+q nach rechts bringen:
(x+p/2)²=p²/4-q
Jetzt taucht links nur noch ein x auf, nach dem wir die Gleichung einfach auflösen können.
Wurzel auf beiden Seiten ziehen:
x+p/2=±√(p²/4-q)
p/2 auch noch nach rechts:
x=-p/2±√(p²/4-q)
Wenn Du nun p wieder durch b/a und q durch c/a ersetzt, kommst Du auf die abc-Formel.
20 kg ist nicht möglich. Weil wenn man mit 20 kg rechnet maximale Preisunterschied 40 € sein kann. Mit 200 kg wird aber gehen. Oder bin ich ganz daneben.
Es geht ja im den Preis pro Kilogramm nicht endpreisunterschied
Wer hat hier als Erster geantwortet; wem gebühren die Lorbeeren? Egal; unten steht Willy. Ihr solltet nicht immer das Selbe mehrfach erzählen. Der Willy-Ansatz krankt daran, dass er nicht ===> kanonisch ist. Leider sind meine Ideen nicht selbst erklärend; deshalb möchte ich euch erst mal was vom Satz von Vieta erzählen. Die Aufgabe lautet: Ein Rechteck habe Umfang U und Flächeninhalt F
x + y = U / 2 ( 1a )
x y = F ( 1b )
Jetzt geht ihr her, löst ( 1a ) nach y auf und setzt in x ein. Erstens ist das umständlich; und zweitens zerstört es die dem Problem inhärente Symmetrie ===> symmetrische Funktionen. An dieser Stelle lege ich den Rückwärtsgang ein; ich behaupte, die gesuchten Rechteckseiten sind die Wurzeln x1;2 einer quadratischen Gleichung
x ² - p x + q = 0 ( 2a )
x1 := x ; x2 := y ( 2b )
Bloß was ist p und q ? Siehe Satz von Vieta; ( 2b ) eingesetzt in ( 1ab ) ergibt
U / 2 = p ; F = q ( 3a )
x ² - U/2 x + F = 0 ( 3b )
Was vor mir noch kein Lehrer gesehen hat: Du musst doch weiter nix als diese Koeffizienten aus ( 1ab ) abschreiben; und ich dachte immer, im Abschreiben seid ihr Schüler groß ... Die vorliegende Aufgabe werden wir genau so bewältigen. Es wird aber bedeutend schwerer; und es klappt auch nur dann, wenn ich von Vorm herein genau weiß, wo ich hin will. Leider hat Willy seine Gleichungen nicht nummeriert; ich bediene mich seiner Notation. Ihr könnt euch vielleicht schon denken, dass ich mich nicht für z intressiere; z war ja gar nicht gefragt. Im Gegentum zu Willy stelle ich alles nach z um und wende das Gleichsetzungsverfahren an:
z = 296 / x + 2 ( 4a )
z = 82 / y ( 4b )
x y + 148 y - 41 x = 0 | + HE ( 4c )
( 4c ) beschreibt doch eine Funktion y = f ( x ) ; aber welche? Was meint ihr? eine Hyperbel; und zwar kann man die Lage des Pols ( x0 | y0 ) sofort erkennen.
" HE " bedeutet übrigens " hyperbolische Ergänzung " ; ich will das jetzt genau so verstanden wissen wie die quadratische Ergänzung. Schau mal:
( x + 148 ) ( y - 41 ) = - 41 * 148 = - 2 ² * 37 * 41 ( 4d )
Klar, wie ich faktorisiere? ( 4d ) ließe sich auch Mühe los nach x oder y umstellen. Wir haben halt jetzt diesen Offset drin; und das ist halt etwas ungewohnt. Ich könnte doch wieder setzen
x1 := x + 148 ; x2 := y - 41 ( 5a )
x1 := y - 41 ; x2 := x + 148 ( 5b )
Das wird jetzt ein bissele zweideutig - warten wir es ab. Analog wie oben hast du wegen ( 4d ) wieder den Vieta
x ² - p x + q = 0 ( 6a )
q = x1 x2 = - 2 ² * 37 * 41 ( 6b )
p = x1 + x2 = ( x + y ) + 148 - 41 = ( 6c )
= 20 + 148 - 41 = 127 ( 6d )
x ² - 127 x - 2 ² * 37 * 41 = 0 ( 7 )
Hier die Mitternachtsformel ( MF ) lassen wir mal schön bleiben - und zwar schon deshalb, weil du dich keines Wegs wundern würdest, wenn hier raus käme x1 = 4 711 / 4 712 . Du musst erst mal lernen, in welchem Film dass du bist; hier schau mal, was Pappi alles weiß:
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz über rationale Nullstellen ( SRN ) - hier hast du dich von deinem ersten Schreck erholt? Von Gauß soll der sein? Gauß ist doch Kult; warum hat dann dein Lehrer noch nie davon gehört? Hausaufgabe; sog. " Eigenleistung " : WARUM ist Wurzel ( 2 ) irrational? Warum hast du noch nie von diesem Beweis gehört? Unmittelbar nachdem mir der SRN bekannt wurde, bewies ich folgende Verschärfung. Seien x1;2 die beiden Wurzeln von ( 7 ) ; dann gelten die beiden pq-Identitäten
x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q ( 8a )
p1 p2 = a0 = ( - 2 ² * 37 * 41 ) ( 8b )
q1 q2 = a2 = 1 ( 8c )
Warum hat Gauß die Bedeutung von ( 8bc ) nicht erkannt? Und in den 200 Jahren seitdem soll das niemandem vor mir aufgefallen sein? Voll abwegig. Du hast verstanden: Es handelt sich darum, sämtliche Zerlegungen des Absolutgliedes a0 in ( 8b ) anzugeben - eine der leichtesten Übungen, wenn du beachtest, dass x1;2 TEILER FREMD sein müssen. Woher weiß ich jetzt das auf einmal wieder? Gleich; aber machen wir erst mal fertig. Teiler fremd bedeutet: Du darfst das " Zweierpäckchen " niemals aufschnüren; du musst a0 praktisch behandeln als a0 = 4 * 37 * 41 Das sind n = 3 Faktoren; es geht streng nach Binominalstatistik mit ihren ===> Binominalkoeffizienten ( n k ) , wobei natürlich in unserem Fall n = 3 ( Hinreichende ) Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist wieder der Satz von Vieta. Du hast ( 3 0 ) = 1 triviale Zerlegung
| x1 | = 1 ; | x2 | = 4 * 37 * 41 = 6 068 ; | p | = 6 067 ( 9a )
Was hier total schief läuft. Ergänzungen werden voran gestellt; bitte lies erst Teil 1 meiner Antwort. Die Länge meiner Antwort ergibt sich auch gar nicht mal so sehr daraus, dass sie schwierig wäre. Sondern mein Vorgehen ist nur etwas ungewohnt; machen wir fertig:
Du hast ( 3 0 ) = 1 triviale Zerlegung
| x1 | = 1 ; | x2 | = 4 * 37 * 41 = 6 068 ; | p | = 6 067 ( 2.1a )
Jetzt kommen noch ( 3 1 ) = 3 Zerlegungen mit je einem Faktor
| x1 | = 4 ; | x2 | = 37 * 41 = 1 517 ; | p | = 1 513 ( 2.1b )
| x1 | = 37 ; | x2 | = 4 * 41 = 164 ; | p | = 127 ( 2.1c ) ; okay
| x1 | = 41 ; | x2 | = 4 * 37 = 148 ; | p | = 107 ( 2.1d )
Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen in ( 2.1d ) ; und fertig ist die Laube.
x1 = ( - 37 ) ; x2 = 164 ( 2.1e )
Besinnen wir uns auf ( 1.5b ) ; da haben wir doch weiter nix unternommen als eine Nullpunktsverschiebung unseres Achsenkreuzes. Und die machen wir jetzt wieder rückgängig:
y = x1 + 41 = 41 - 37 = 4 ( 2.2a )
x = x2 - 148 = 164 - 148 = 16 ( 2.2b )
Gleich Willy finden wir, dass Alternative ( 1.5a ) unphysikalisch ist.
Im Prinzip würden Physiker diese von uns eingeführte Nullpunktsverschiebung als ===> Renormierung bezeichnen.
Nice danke :)