Was wiegt Kugel A und was wiegt Kugel B?

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Meine letzte Mathe-Stunde liegt zwar schon -zig Jahre zurück, aber ich denke mal die Gleichung dazu ist:

296/(x-2)+82/x=20

Oder liege ich daneben?
(Lösung wäre dann 16kg und 4kg)


Wer hat hier als Erster geantwortet; wem gebühren die Lorbeeren? Egal; unten steht Willy. Ihr solltet nicht immer das Selbe mehrfach erzählen. Der Willy-Ansatz krankt daran, dass er nicht ===> kanonisch ist. Leider sind meine Ideen nicht selbst erklärend; deshalb möchte ich euch erst mal was vom Satz von Vieta erzählen. Die Aufgabe lautet: Ein Rechteck habe Umfang U und Flächeninhalt F

 

         x + y = U / 2      ( 1a )

          x y = F         ( 1b )

           Jetzt geht ihr her, löst ( 1a ) nach y auf und setzt in x ein. Erstens ist das umständlich; und zweitens zerstört es die dem Problem inhärente Symmetrie ===> symmetrische Funktionen. An dieser Stelle lege ich den Rückwärtsgang ein; ich behaupte, die gesuchten Rechteckseiten sind die Wurzeln x1;2 einer quadratischen Gleichung

          x ² - p x + q = 0        ( 2a )

           x1 := x ; x2 := y         ( 2b )

            Bloß was ist p und q ? Siehe Satz von Vieta; ( 2b ) eingesetzt in ( 1ab ) ergibt

         U / 2 = p ; F = q         ( 3a )

         x ² - U/2 x + F = 0 ( 3b )

          Was vor mir noch kein Lehrer gesehen hat: Du musst doch weiter nix als diese Koeffizienten aus ( 1ab ) abschreiben; und ich dachte immer, im Abschreiben seid ihr Schüler groß ... Die vorliegende Aufgabe werden wir genau so bewältigen. Es wird aber bedeutend schwerer; und es klappt auch nur dann, wenn ich von Vorm herein genau weiß, wo ich hin will. Leider hat Willy seine Gleichungen nicht nummeriert; ich bediene mich seiner Notation. Ihr könnt euch vielleicht schon denken, dass ich mich nicht für z intressiere; z war ja gar nicht gefragt. Im Gegentum zu Willy stelle ich alles nach z um und wende das Gleichsetzungsverfahren an:

         z = 296 / x + 2      ( 4a )

         z = 82 / y       ( 4b )

        x y + 148 y - 41 x = 0 | + HE     ( 4c )

         ( 4c ) beschreibt doch eine Funktion y = f ( x ) ; aber welche? Was meint ihr? eine Hyperbel; und zwar kann man die Lage des Pols ( x0 | y0 ) sofort erkennen.

 " HE " bedeutet übrigens " hyperbolische Ergänzung " ; ich will das jetzt genau so verstanden wissen wie die quadratische Ergänzung. Schau mal:

        ( x + 148 )  ( y - 41 ) = - 41 * 148 = - 2 ² * 37 * 41  ( 4d )

         Klar, wie ich faktorisiere? ( 4d ) ließe sich auch Mühe los nach x oder y umstellen. Wir haben halt jetzt diesen Offset drin; und das ist halt etwas ungewohnt. Ich könnte doch wieder setzen

        x1 := x + 148 ; x2 := y - 41      ( 5a )

       x1 := y - 41 ; x2 := x + 148      ( 5b )

        Das wird jetzt ein bissele zweideutig - warten wir es ab. Analog wie oben hast du wegen ( 4d ) wieder den Vieta

        x ² - p x + q = 0     ( 6a )

       q = x1 x2 = - 2 ² * 37 * 41      ( 6b )

       p = x1 + x2 = ( x + y ) + 148 - 41 =       ( 6c )

       = 20 + 148 - 41 = 127     ( 6d )

        x ² - 127 x - 2 ² * 37 * 41 = 0     ( 7 )

        Hier die Mitternachtsformel ( MF ) lassen wir mal schön bleiben - und zwar schon deshalb, weil du dich keines Wegs wundern würdest, wenn hier raus käme x1 = 4 711 / 4 712 . Du musst erst mal lernen, in welchem Film dass du bist; hier schau mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

 Der Satz über rationale Nullstellen ( SRN ) - hier hast du dich von deinem ersten Schreck erholt? Von Gauß soll der sein? Gauß ist doch Kult; warum hat dann dein Lehrer noch nie davon gehört? Hausaufgabe; sog. " Eigenleistung " : WARUM ist Wurzel ( 2 ) irrational? Warum hast du noch nie von diesem Beweis gehört? Unmittelbar nachdem mir der SRN bekannt wurde, bewies ich folgende Verschärfung. Seien x1;2 die beiden Wurzeln von ( 7 ) ; dann gelten die beiden pq-Identitäten

       x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q     ( 8a ) 

       p1 p2 = a0 = ( - 2 ² * 37 * 41 )      ( 8b )

        q1 q2 = a2 = 1       ( 8c ) 

             Warum hat Gauß die Bedeutung von ( 8bc ) nicht erkannt? Und in den 200 Jahren seitdem soll das niemandem vor mir aufgefallen sein? Voll abwegig. Du hast verstanden: Es handelt sich darum, sämtliche Zerlegungen des Absolutgliedes a0 in ( 8b ) anzugeben - eine der leichtesten Übungen, wenn du beachtest, dass x1;2 TEILER FREMD sein müssen. Woher weiß ich jetzt das auf einmal wieder? Gleich; aber machen wir erst mal fertig. Teiler fremd bedeutet: Du darfst das " Zweierpäckchen " niemals aufschnüren; du musst a0 praktisch behandeln als a0 = 4 * 37 * 41 Das sind n = 3 Faktoren; es geht streng nach Binominalstatistik mit ihren ===> Binominalkoeffizienten ( n k ) , wobei natürlich in unserem Fall n = 3 ( Hinreichende ) Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist wieder der Satz von Vieta. Du hast ( 3 0 ) = 1 triviale Zerlegung

         | x1 | = 1 ; | x2 | = 4 * 37 * 41 = 6 068 ; | p | = 6 067    ( 9a )

Wut mach dir mehr Mühe Daumen hoch

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Hallo,

Du mußt die Aufgabe in ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten umformulieren.

x ist gleich dem Gewicht der größeren Kugel,

y ist gleich dem Gewicht der kleineren Kugel.

Damit lautete die erste Gleichung:

x+y=20

z ist gleich dem Preis pro Kilo einer Kugel, egal von welcher.

Sagen wir, z soll gleich dem Kilopreis der kleineren Kugel sein.

Dann ist der Kilopreis der größeren Kugel z-2.

So kommen wir zu den beiden anderen Gleichungen.

xkg*(z-2)€=296 €

ykg*z €=82 €

Daraus folgt:

x=296/(z-2)

y=82/z

Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten:

296/(z-2)+82/z=20

Nun bringen wir alles auf einen Nenner, indem wir die Gleichung mit dem Hauptnenner z*(z-2) multiplizieren und, wo es möglich ist, kürzen:

296*z+82*(z-2)=20*z*(z-2)

Da alle Faktoren gerade sind, können wir zunächst durch 2 teilen (muß man nicht, macht die Zahlen aber kleiner):

148z+41(z-2)=10z(z-2)

Nun lösen wir die Klammern auf:

148z+41z-82=10z²-20z

Nun fassen wir die z-Glieder zusammen und bringen alles auf eine Seite der Gleichung und sortieren sie nach absteigenden Exponenten:

10z²-209z+82=0

Nun hast Du eine quadratische Gleichung, die Du nach der pq-Formel berechnen kannst. Dazu mußt Du sie allerdings zunächst durch 10 teilen, da Du die pq-Formel nur anwenden kannst, wenn vor dem z² kein anderer Faktor als eine 1 steht:

z²-20,9z+8,2=0

z₁=10,45+√(10,45²-8,2)=20,50 €

z₂=10,45-√(10,45²-8,2)=0,40 €

Die Lösung 0,40 € scheidet aus, da wir in diesem Fall für x ein negatives Ergebnis bekämen: x=296/(0,4-2)=(-185).

Bleibt also ein realistischer Preis von 20,50 € für die kleine und 18,50 € für die große Kugel pro Kilo.

Somit wiegt die große Kugel 296/18,50=16 kg

und die kleine 82/20,50=4 kg.

Zusammen wiegen sie, wie es sich laut Aufgabenstellung gehört, 20 Kilogramm.

Herzliche Grüße,

Willy

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