Mathe - Volumen, Gewicht, Kugeln?
Hallo,
Ich habe folgende Mathe Aufgabe:
Abgebildet sind eine große und vier kleine Kugeln, die halb so hoch sind wie die große. (r/2)
Die fünf Kugeln sind aus denselben Material. Die große Kugel wiegt 7kg. Wie viel wiegen die 4 kleinen Kugeln zusammen?
Bin mir ziemlich sicher das da 3.5kg insgesamt rauskommen, aber mathematisch komme ich auf 0,76... Kg. Irgwie denke ich gerade zu kompliziert und stehe aufm Schlauch. Mit volumenformel für die Kugel und.. Naja
Vll hat ja jmd schnell ne Lösung parat. Eigentlich sollte man diese Aufgabe in der 10 Klasse lösen können. Ich Maschinenbaustudent bin zu "doof verkompliziert" dafür.
Danke.
Mfg
Make together
4 Antworten
Die große Kugel hat das Volumen (4/3)r³.pi und wiegt 7 kg..
Die vier kleinen Kugeln mit dem Radius r/2 haben zusammen das Volumen 4*(4/3)(r/2)³pi = (4/3)*4*(r³/8)*pi = (1/2)*(4/3)r³pi. Das ist das halbe Volumen der großen Kugel.
Da das Gewicht bei gleichem Material zum Volumen proportional ist, wiegen also die vier kleinen Kugeln zusammen nur halb so viel, nämlich 3,5 kg, wie die große Kugel mit 7 kg. Jede kleine Kugel wiegt 3,5 kg/4 = 0,875 kg.
Die Volumenformel für eine Kugel ist ja
4/3 • π • r³ - da setzt du für r einfach mal eine 2 ein, und nimmst dies für das Volumen für die große Kugel.
( 4/3 • π • 2³)
( 4/3 • π • 8)
die 4 kleinen Kugeln berechnest du genau so, indem du hier für r den halben Wert der großen Kugel , also 1 einsetzt,
( 4/3 • π • 1³ • 4) (weil 4 Stück) ergibt
( 4/3 • π • 4)
Damit hast du die beiden Volumina, die du ins Verhältnis setzen kannst
Volumen der großen Kugel durch Volumen der kleinen Kugeln:
( 4/3 • π • 8)/( 4/3 • π • 4) Hierbei kürzt sich 4/3 • π ja heraus und es bleibt:
Verhältnis der großen Kugel zur Summe der vier kleinen Kugeln = 8/4 = 2
Da also das Volumen der kleinen Kugeln genau halb so groß ist. ist also auch die Masse der 4 Kugeln genau halb so groß, also 3,5 kg.
Oder ohne Rechnen: Stell dir einen Würfelförmigen Kasten vor, in den die große Kugel genau rein passt. Wie viele der kleinen Kugeln passen dann in diesen Kasten?
Ist doch gar nicht soo schwer, oder?
(Viel Spaß an der Strömungs- und der Wärmelehre...)
Der Radius geht mit der 3. Potenz in das Ergebnis der Volumenberechnung ein. Eine Verdoppelung des Radius bewirkt also eine Verachtfachung des Volumens (und damit auch der Masse).
Umgekehrt hat eine halb so hohe Kugel also ein Achtel des Volumens. Vier kleine Kugeln = 4/8 = 1/2 des Volumens (bzw. der Masse) der großen Kugel. Also stimmen die 3,5 kg.
Weißt du die Dichte des Materials aus dem die Kugeln sind. Oder den Durchmesser?
Musst du das Volumen berechnen, weil für was brauchst du das Volumen, wenn du das Gewicht berechnen möchtest?
Naja anhand des Volumens kann man das Gewicht ausrechnen, bzw wenn nur halb so viel "Masse/Volumen" Da ist dann eigentlich auch nur halb so viel Gewicht
Die Formel für das Volumen einer Kugel ist V=4/3*pi*r^3. Man könnte jetzt wenn man die Dichte gegeben hat mit der Formel Dichte=Masse/Volumen die Masse ausrechnen. Da aber kein Radius, kein Durchmesser und keine Dichte angegeben sind, nützt das Volumen gar nichts.
Das stimmt natürlich nicht. Halber Durchmesser bedeutet ja nicht halbes Volumen!
Ja natürlich nicht, aber mit der Formel kann man, wenn man den Durchmesser wüsste für die kleinere Kugel das Volumen ausrechen. Und wenn man die Dichte hätte, könnte man somit für die kleinere die Masse ausrechnen
Du benötigst die konkrete Dichte nicht, weil sie gleich ist. Entscheidend ist nur das Verhältnis der Volumina.
Die Dichte ist hier völlig irrelevant, ebenso der tatsächliche Durchmesser, da es hier nur um das Verhälznis zwischen 1 x groß zu 4 mal halb so groß in bezug auf den Radius geht.
Ja ich meine ja nur wenn diese zwei Komponenten gegeben wären, könnte man es so ausrechnen, wie ich es erklärt habe. Ich wollte doch nur herausfinden, ob ich diese Formeln die ich lernen musste doch nochmal gebrauchen kann😂😂
Wenn du unbedingt hier eine bestimmte Größe, und damit über die angegebene Masse der großen Kugel unbedingt verwenden möchtest, dann nehme einfach eine, Radius der großen Kugel an, z.B. 5,28 cm
Daraus bekommst du dann ein Volumen von 616,74cm³ und bei einer Masse von 7kg errechnet sich daraus eine Dichte von 11,35, welches dann erfreulicherweise auch ein Feststoff ist, aus dem sich Kugeln machen lassen, nämlich Blei.
Am Ende wirst du dann über diesen komplizierteren Weg auch auf jetzt nur noch ungefähr 3,5kg kommen, jedoch mit Rundungsfehlern.
Ich denke wenn zwei kleine quasi eine grosse ergeben, weil wegen die Hälfte, sind 4 Kugeln 14 Kilo?