Was stimmt über das charakteristische Polynom?
Woran kann man erkennen, dass das charakteristische Polynom ein Polynom ist?
Kann man dabei mit der Leibnizformel argumentieren?
Ist das charakteristische Polynom eindeutig?
Wie kann man das mit Hilfe des Multiplikationssatzes für Determinanten beweisen?
1 Antwort
Die Determinante von A - x I (quadratische Matrix A gegeben, Abzug von x mal die Einheitsmatrix) ist eine Summe von Produkten von Matrixelementen mit Potenzen von x, also ein Polynom.
Wenn man eine zu A ähnliche Matrix B hat, die also so zusammenhängen:
A = C^(-1) B C, mit geeigneter invertierbarer Matrix C, dann gilt
det( A -xI ) = det( C^(-1) B C - xI ) = det( C^(-1) B C - xC^(-1) C ) = det( C^(-1) ( B - xI ) C ) = det( C^(-1) ) det( B - xI ) det( C ) = det( B - xI ),
was deine Frage nach der Eindeutigkeit beantworten sollte.