Was ist ein Wiederspruchsbeweis?

6 Antworten

Zunächst: es heißt Widerspruch (wider=entgegen) und nicht wieder (wieder=nochmal). Vielleicht hast du darum nichts gefunden. Nun denn:

Wenn du mit einem Widerspruchsbeweis beweisen willst, dass etwas nicht geht, tust du zunächst so als ob das gehen würde und rechnest weiter, bis du einen Widerspruch findest und dadurch deine Aussage bestätigst.

Hier das Beispiel mit Wurzel 2, wir wollen beweisen, dass Wurzel 2 nach dem Komma unendlich weiter geht.

Wir nehmen also (scheinbar)  an, dass Wurzel 2 irgendwann mal aufhört und suchen nach einem Widerspruch, um die Aussage zu beweisen. Dann soll:

Wurzel 2 * Wurzel 2 =2

Damit das geht, muss die letzte Nachkommastelle multipliziert 0 ergeben. Das geht aber nicht:

1^1=1 2^2=4 3^3=9 4^4=16 5^5=25 6^6=36 7^7=49 8^8=64 9^9=81=> keine 0

Toll! Ein Widerspruch: da wir also einen Widerspruch gefunden haben, haben wir somit unsere erste These bestätigt: Wurzel 2 geht unendlich weiter.

Es gibt noch den Beweis, dass Wurze 2 auch kein Bruch ist, aber was ein Widerspruchsbeweis ist ist jetzt klarer, oder?

Erst einmal heißt es Widerspruchsbeweis - nur mit i,
denn es kommt von wider (gegen) und nicht von wieder (erneut).

Bei diesem formalen Beweis geht man davon aus, dass von zwei entgegengesetzten Annahmen eine stimmen muss. Beweist man nun, dass eine falsch ist, muss demnach die andere richtig sein.

Bei √2 ist es so, dass es entweder rational ist oder nicht. Man beweist dann, dass es nicht rational sein kann, also muss √2 irrational sein. - Vermutlich habt ihr den Beweis im Unterricht geführt, und deshalb sollst du ihn nicht wiederverwenden.

Nimm lieber: Wenn n² gerade ist, dann auch n.

Das ist nicht so schwer.

Wenn du nicht darauf kommst, wie man es mit einem Widerspruchsbeweis macht, schreib einen Kommentar.

Hallo,

Der Pseudo-Widerspruchsbeweis

Man setzt A voraus und nimmt an, daß ¬B gilt.

Durch geeignete Argumentation kommt man zu dem Ergebnis, daß dann A nicht gelten kann.

Eigentlich handelt es sich bei diese Variante aber nicht um einen

Widerspruchsbeweis, sondern um den direkten Beweis der Kontraposition.

Denn hätte man A nicht vorausgesetzt, dann hätte man aus ¬B auch

schon ¬A folgern können, und somit den direkten Beweis der

Kontraposition (¬B=>¬A) gegeben.

Den '

direkten Beweis der Kontraposition

' nennt man '

indirekten Beweis

'.

[Die

Kontraposition

(Umkehrung) der Aussage (A=>B) lautet (¬B=>¬A), und beide Aussagen sind logisch äquivalent.]

Der echte Widerspruchsbeweis

Man setzt A voraus und nimmt an, daß ¬B gilt. Daraus folgert man durch

geeignete Argumentation, daß auch B gilt. An diesem Widerspruch muß die

Annahme ¬B schuld sein.

Wenn aber ¬B nicht gelten kann, dann muß (in einer zweiwertigen Logik) eben B gelten.

Beispiel Wurzel-2

Zur Verdeutlichung dieser Unterscheidung erinnere ich an den Beweis der Behauptung: '

Ö

2 ist irrational'.

Zunächst fällt auf, daß in der Behauptung keine Folgerung enthalten ist, wenigstens ist diese nicht deutlich.

Ich formuliere darum anders:

(x²=2) => x ist irrational

Beweisidee: Zeige (x²=2

Ù

x ist rational => Widerspruch).

Der Widerspruch könnte darin bestehen, daß sich ergibt, daß dann x²

¹

2 ist (das wäre die erste,

pseudo

Variante), oder, daß x nicht rational sein kann (die zweite,

echte

Variante).

Im bekannten Beweis dieser Behauptung ergibt sich der Widerspruch

gegen die Annahme, daß Wurzel 2 rational ist - der Wurzel-2-Beweis ist

ein

echter

Widerspruchsbeweis.

Zusammenfassung

Wenn sich bei einem Widerspruchsbeweis der Behauptung (A=>B) ein Widerspruch (A

Ù

¬A) ergibt, dann handelt es sich im Grunde um einen direkten Beweis der Kontraposition (so etwas bezeichne ich als

Pseudo

-Widerspruchsbeweis).

Ergibt sich aber der Widerspruch (B

Ù

¬B), dann ist es ein

echter

Widerspruchsbeweis.

Kann man denn immer beide Wege gehen?

Nein, in den seltensten Fällen. Ein Widerspruchsbeweis ist

unumgänglich, quasi obligatorisch, wenn gezeigt werden soll, daß eine

bestimmte Eigenschaft

nicht

vorliegt. Es bleibt einfach keine

Wahl, wenn man für die behauptete Eigenschaft keine positiven Kriterien

kennt (Beispiel: irrational), aber das Gegenteil der Behauptung

zuverlässig erkennen kann.

Nur in den wenigsten Fällen kann man beide Varianten an einer Behauptung vorführen.

Heute habe ich ein solches

multiples

Beispiel gefunden und werde nun beide Varianten ausführen.

Beispiel: "ungerade"

Behauptung: Wenn n³ durch 2 teilbar ist, dann ist auch n durch 2 teilbar

Zuerst der naheliegende

Pseudo-Widerspruchsbeweis

Sei n³ gerade.

Angenommen n ist ungerade, dann ist n = (2k+1), mit einem k aus IN.

Dann ist n³ = (2k+1)³ = 8k³ + 12k² + 6k + 1.

Die Summanden 8k³, 2k² und 6k sind alle gerade.

Eine gerade Zahl plus 1 ergibt eine ungerade Zahl, und das bedeutet einen Widerspruch zur Voraussetzung, daß n³ gerade ist.

Soweit der Pseudo-Widerspruchsbeweis. Nun ein

Echter Widerspruchsbeweis

Sei n³ gerade. Angenommen n ist nicht gerade.

(

Diesmal will ich folgern, daß die Annahme nicht haltbar ist.

)

Es ist n³ gerade, wenn es durch 2 teilbar ist (= beim Teilen durch 2 den Rest 0 läßt).

Also ist n³/2 eine ganze Zahl, und darum kann man eine ganze Zahl k finden, mit der gilt: n³ = 2k.

Es ist

n³ = n*n² = 2k

<=> (n*n²)/2 = k

Das k ist eine ganze Zahl. n

ist nach Annahme ungerade, darum nicht durch 2 teilbar. Also ist n²

durch 2 teilbar, denn wenn ein Produkt durch 2 teilbar ist, dann muß

einer der Faktoren durch 2 teilbar sein.

Wenn n² durch 2 teilbar ist, dann gibt es eine ganze Zahl m, für die gilt: n² = 2m. Somit ist n² = n*n = 2m.

<=> (n*n)/2 = m. Das m ist eine ganze Zahl. n ist nach

Annahme ungerade, darum nicht durch 2 teilbar. Da nun aber keiner der

beiden Faktoren (n und n) durch 2 teilbar ist, erweist sich, daß die

Annahme, daß n nicht durch 2 teilbar ist, nicht zu halten ist.

In diesem Beispiel sind beide Varianten des Widerspruchsbeweisen

möglich, weil sowohl die positive Eigenschaft (gerade) als auch die

negative Eigenschaft (nicht gerade = ungerade) genau erkannt und

charakterisiert werden können.

Ist der Pseudo-Widerspruchsbeweis denn kein Beweis?

Doch, es ist ein Beweis - kein Zweifel. Kann man die Kontraposition

beweisen, dann ist die ursprüngliche Behauptung damit bewiesen.

Oft enthält ein mathematischer Beweis mehrere Beweistechniken in bunter Mischung.

Manchmal sind die Übergänge fließend, vielleicht auch, weil der

Autor nicht beabsichtigt hat, eine reine Anwendung der einen oder

anderen Technik vorzuführen.

Nun gilt für

Beweise in der Mathematik

(möglichst) das

KUSS

-Ideal (

K

urz

U

nd

S

ehr

S

chön), und es bleibt dem Leser überlassen,

kurz

und

schön

gegeneinander abzuwägen und seine persönliche Entscheidung zu treffen.

Matroid 2002

PS: Auch der

echte

Widerspruchsbeweis macht keinen Gebrauch von Sätzen der Zahlentheorie über Primfaktorzerlegungen.

Wie ich sehe sind die Tasten C, V und Strg auf deiner Tastatur voll funktionsfähig. Das freut mich für dich :-)

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