Was ist die stammfunktion von 3/x Quadrat?

Find dafür keine besondere Regel

Comments

[JanaL161]

3/(x^2) oder (3/x)^2?

[juustmeeeeeee]

Ersteres

Answer 1

[mihisu]

Erst einmal: Es gibt nicht „die“ Stammfunktion. Es gibt unendlich viele Stammfunktionen. [Denn man kann durch Addition von Konstante immer weitere Stammfunktionen finden.]

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Man kann

$f(x)=\frac{3}{x^2}$

auch als

$f(x)=3\cdot x^{-2}$

schreiben und dann mit Hilfe der Potenzregel

$\tilde{f}(x)=x^{k}\quad \rightarrow\quad \tilde{F}(x)=\frac{1}{k+1}\cdot x^{k+1}$

(und der Faktorregel) eine entsprechende Stammfunktion finden.

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Zu

$f:\ \mathbb{R}\setminus\left\lbrace 0\right\rbrace\to \mathbb{R},\quad f(x)=\frac{3}{x^2}=3\cdot \underbrace{x^{-2}}_{\tilde{f}(x)}$

kann man $F:\ \mathbb{R}\setminus\left\lbrace 0\right\rbrace\to \mathbb{R},\quad F(x)=3\cdot\overbrace{\frac{1}{-2+1}\cdot x^{-2+1}}^{\tilde{F}(x)}=3\cdot\frac{1}{-1}\cdot x^{-1}=-\frac{3}{x}$

als eine Stammfunktion angeben.

Wenn man alle Stammfunktionen sucht, muss man bedenken, dass sich Stammfunktionen additiv um eine Konstante unterscheiden. [Bzw. kann man sogar auf jeder Zusammenhangskomponente des Definitionsbereichs eine andere Konstante wählen.] Dementsprechend sind alle Stammfunktionen durch

$F:\ \mathbb{R}\setminus\left\lbrace 0\right\rbrace\to \mathbb{R},\quad F(x)=\begin{cases}-\frac{3}{x}+C_1 & \text{ für }x<0 \\ -\frac{3}{x}+C_2 & \text{ für }x>0\end{cases}$

mit beliebigen Konstanten C₁ und C₂ gegeben.

Answer 2

[rumar]

Kennst du eine Stammfunktion F zur Funktion f mit

$f\left(x\right)\ =\ \frac{1}{x^2}$

Answer 3

[jjsch5]

3/x^2 = 3x^-2

> Potenzregel

Woher ich das weiß: Hobby – Schule & Studium

Answer 4

[Hamburger02]

F(x) = -3/x + C