Was ist -12/x abgeleitet?
http://www.ableitungsrechner.net/ sagt 12/x² aber ich weiß nicht warum.
Von dem was ich verstanden habe:
f(x) = -12/x
= -12 * 1/x
= -12 * x^-1
f'(x) = 12 * x^-2
= 12 / x^-2
Auf der Seite 'fehlt' das Minus vor der 2. Wo ist der Denkfehler?
7 Antworten
Hallo PhilipHaernle93,
deine Ausgangsfunktion ist:
f(x) = -12/x
Zuerst musst du die Gleichung gemäß der Potenzgesetze umformen!
Dazu multiplizierst du den Zähler mit dem Nenner. Dabei wechselt sich das Vorzeichen vom Exponenten im Nenner.
Hier haben wir im Nenner ein x, was das selbe wie x¹ ist.
Das ganze findest du in den Potenzgesetzen (hier vorletztes Gesetz):
http://www.formelsammlung-mathe.de/potenzen.html
In diesem Fall:
f(x) = -12/x
f(x) = -12 * x⁻¹
f(x) = -12x⁻¹
Das kannst du nun ableiten!
● ● ● 1. Ableitung ● ● ●
f'(x) = -1 * -12x⁻²
f'(x) = 12x⁻²
Das kannst du nun natürlich auch wieder zurück umformen.
Dazu nun die beiden Faktoren dividieren und das Vorzeichen im Exponenten wieder tauschen.
f'(x) = 12/x²
Ganz wie du es kennst. Exponenten nach vorne und mit der Basis multiplizieren. Exponenten um 1 erniedrigen / verringern.
Wichtig:
Du entfernst dich damit natürlich weiter von der 0 und gehst immer weiter in den negativen Bereich! Achte gut auf die ganzen Vorzeichen!
Geh natürlich auch noch weiter!
● ● ● 2. Ableitung ● ● ●
f''(x) = -2 * 12x⁻³
f''(x) = -24x⁻³
f''(x) = -24/x³
● ● ● 3. Ableitung ● ● ●
f'''(x) = -3 * -24x⁻⁴
f'''(x) = 72x⁻⁴
f'''(x) = 72/x⁴So kannst du es immer weiter machen...
__________________________________________________________
Bei Fragen oder Anregungen kannst du dich immer melden! ;)
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Das ist ja alles richtig. Nur ist 12 * x⁻² = 12/x² und nicht gleich 12/x⁻². Wenn du das x in den Nenner ziehst, dreht sich das Vorzeichen des Exponenten um, aus x⁻² wird also 1/x².
Die Potenzregel anzuwenden ist grundsätzlich die einfachste Möglichkeit, solche Brüche abzuleiten. Die Quotientenregel wäre natürlich auch möglich, aber viel zu kompliziert und fehleranfällig.
Daher ist die Potenzregel hier das Mittel der Wahl, dann muss man aber auf die Vorzeichen der Exponenten achten, wenn man den Nenner in den Zähler zieht oder andersherum.
f(x)= -12/x
= -12 * x^-1
f'(x)= 12 * x^-2
f'(x)= 12 / x^2
Beim Ableiten multipliziert man zuerst mit dem Exponenten von x (hier also -1), deswegen kommt man dann auf ein positives Ergebnis. Danach verringert man den Exponenten von x um 1 (hier also x^-1 -> x^-2).
Bis zur vorletzten Zeile ist das richtig. Wenn du das x dann in den Nenner ziehst, kehrt sich das Vorzeichen um, also
f'(x)=12/x^2
Letzte Zeile:
f'(x) = 12 * x^-2 = 12 / x^2
nicht
12 * x^-2 = 12 / x^-2