Warum sind drei Vektoren a b und c immer komplanar wenn einer von ihnen der Nullvektor ist?
Frage oben ^^ ich komm irgendwie nicht drauf.... Danke im vorraus
3 Antworten
...weil ich die Ebene immer so wählen kann, dass auf ihr die beiden Vektoren liegen, die nicht die Länge null haben...
Lässt sich mit dem Spatprodukt zeigen.
Koplanare Vektoren liegen in einer Ebene, und mit dem Spatprodukt berechnet man Volumina von Körpern, die durch 3 Vektoren aufgespannt sind. Wenn die drei Vektoren jetzt aber eine Ebene bilden, hat das Ding nur eine Fläche und kein Volumen (bzw. ein Volumen von 0). Du musst also nur zeigen, dass det(a,b,c)=0 ist, wenn eine Spalte nur aus Nullen besteht. Das geht mit Sarrus.
Die Determinante der Matrix mit den Spalten a,b,c. Du kannst aber auch einfach so das Spatprodukt über (axb)c ausrechnen, kommt aufs gleiche raus.
"komplanar" bedeutet, dass du es schaffen kannst, den Nullvektor mit mindestens einer Linearkombination außer der trivialen darzustellen.
Das bedeutet:
seien a, b, c deine Vektoren.
Linearkombination bedeutet, dass du den ersten mit einem Skalar (für die Schule: mit einer reellen Zahl) multiplizierst, den zweiten mit einem Skalar multiplizierst und das auch noch mit dem dritten und dann diese Ergebnisse addierst.
Also:
a * u + b * v + c * w, wobei u, v, w einfach gewöhnliche Zahlen sind, während a, b, c immer noch unsere Vektoren sind.
Jetzt untersuchen wir, wann dieser Ausdruck gleich Null ist:
a * u + b * v + c * w = 0
Wenn jetzt u = v = w = 0 dann ist diese Gleichung offensichtlich erfüllt.
Dazu brauchen wir die Vektoren gar nicht kennen, sprich das geht immer.
Daher nennen wir das die triviale Lösung.
Wenn es noch eine andere Lösung für gegebene Vektoren a, b, c gibt, so nennen wir diese linear abhängig oder komlanar.
Wenn jetzt einer von denen der Nullvektor ist, beisielsweise a, dann folgt:
a * u + b * 0 + c * 0 = a * u = 0 für jedes u.
Es gibt also noch andere Lösungen, nämlich jede, bei der v = w = 0 und u != 0 (ungleich).
Ich hab noch eine Frage zu der Geschichte dass ich beweisen muss dass det (a,b,c)=0 ist .
Was ist "det" ? :)