warum Reihenfolge bei Geburtstagsproblem?

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3 Antworten

Du musst keine bestimmte Reihenfolge beachten. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass kein Schüler am Schalttag (29. Februar) Geburtstag hat und, dass für jeden Schüler alle Tage des Jahres als Geburtstag gleich wahrscheinlich sind (was auch nicht genau stimmt: z.B. werden im September mehr Kinder geboren als im Dezember). Aber mit diesen vereinfachenden Annahmen dürfen wir wie folgt rechnen:

Nehmen den ersten Schüler in der Klasse. Der hat an einem Tag Geburtstag. Die Wahrscheinlichkeit, dass der 2. Schüler an einem anderen Tag Geburtstag hat, als der erste ist 364/365. Die Wahrscheinlichkeit, dass der 3. Schüler an einem anderen Tag Geburtstag hat als die ersten beiden ist 363/365 ... So rechnen wir weiter, bis zum 23. Schüler. Die Wahrscheinlichkeit, dass der an einem anderen Tag Geburtstag hat als die ersten 22 ist 343/365

Dann können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass alle 23 Schüler an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die ist dann

1 * 364/365 * 363/365 * 362/365 * 361/365 * ..... * 343/365 

Die Gegenwahrscheinlichkeit dazu ist, dass wenigstens 2 Schüler am gleichen Tag Geburtstag haben. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also

1 - (1 * 364/365 * 363/365 * 362/365 * 361/365 * ..... * 343/365)

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Stell Dir 10 Personen in einer Reihe vor. Der erste in der Reihe geht von Person zu Person und testet auf gleichen Geburtstag. Das wären 9 Paare. Danach tritt diese Person aus der Reihe aus (setzt sich auf einen Stuhl).

Nun bleiben in der Reihe 9 Personen übrig und alles beginnt von vorne - mit dann 8 neuen Paaren.

Und so weiter, bis nur noch zwei Personen übrig bleiben.

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Hallo,

welche Reihenfolge?

Wenn Du berechnen willst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, daß von n Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben, berechnest Du das Gegenereignis: Kein Geburtstag kommt doppelt vor und ziehst das Ergebnis von 1 ab.

Die Wahrscheinlichkeit bei einer Person liegt bei 365/365=1, was klar ist.

Bei zwei Personen: 364/365, weil nur noch 364 mögliche Geburtstage zur Verfügung stehen, bei drei Personen 363/365 usw.

Die Formel lautet also 1-{[365!/(365-n+1)!]/365^n}

Welche dieser Personen Du als erste, zweite oder dritte nimmst, ist egal.

Herzliche Grüße,

Willy

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