Warum läuft diese Folge gegen 1?

Wieso genau kommt bei solchen Folgen IMMER 1 raus ?

Answer 1

[Kalkablagerung]

Du kannst es vielleicht an einem Beispiel vereinfacht sehen, indem wir einfach mal ein paar Beispielwerte einsetzen: $\sqrt[2]{2}\ =\ 1,414...$ $\sqrt[3]{3}\ =\ 1,442...$ $\sqrt[4]{4}\ =\ 1,414...$ $\sqrt[5]{5}\ =\ 1,3797...$ $\sqrt[6]{6}\ =\ 1,348...$ Und der Wert wird immer tiefer fallen, je größer n wird. Das liegt daran, dass Exponentielle Funktionen ab einem gewissen Punkt schneller steigen als lineare Funktionen. Das, was unter der Wurzel geschieht ist linear, da keine Exponenten bei der Variable sind. $\sqrt[n]{3n\ +\ 1}\ =\ \left(3n\ +\ 1\right)^{\frac{1}{n}}$ Wenn hier also n gegen unendlich geht, wird der Exponent kleiner und geht gegen 0. Und irgendetwas (Außer 0 und unendlich) hoch 0 ist 1.

Hoffe, ich konnte helfen. Bei Fragen gerne fragen, bei Fehlern bitte korrigieren!

Woher ich das weiß: Hobby – Ich interessiere mich für Mathematik

Answer 2

[Mathmaninoff, UserMod Light]

3n + 1 könnte man durch 4n nach oben abschätzen. $\sqrt[n]{3n + 1} \leq \sqrt[n]{4n} =\sqrt[n]{4} \cdot \sqrt[n]{n}$ Beim ersten Faktor ist die Konvergen leichter ersichtlich. Für den zweiten Faktor ist der Beweis hier: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Beispiele#n-te_Wurzel_von_n Zuvor ist auch noch der Beweis für den ersten Faktor.

Wenn unter der Wurzel noch eine Potenz von n wäre, könnte man die Wurzel und die Potenz vertauschen und wegen Grenzwertsätzen oder Stetigkeit der Potenz $\sqrt[n]{n} \to 1 \Rightarrow \sqrt[n]{n}^m \to 1$ folgen.

Insgesamt könnte man ein Polynom von n unter der n-ten Wurzel immer durch ein Vielfaches einer n-ten Potenz abschätzen, sodass Konvergenz gegen 1 folt.