Warum ist Sinus und Cosinus von -1 bis 1 definiert?
Oder besser warum ist der Sinus Wert über 1 oder unter -1 nicht definiert? Hat es mit dem Einheitskreis zu tun? Warum genau dieses Intrevall? Und wie sieht es beim Tangens aus, hat der auch ein Intrevall in dem er definiert bzw. nicht definiert ist? Danke viel mal!!
3 Antworten
Ich glaube Du verwechselst Definitionsmenge und Wertemenge. Die Frage nach der Wertemenge ist keine Frage einer Definition derselben. Die Wertemenge ist das Ergebnis der Definition einer Funktion.
Ich könnte nun auch geometrisch argumentieren und antworten: Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks kann niemals kleiner als eine der beiden Katheten sein und daher muss das Verhältnis einer Kathete zur Hypotenuse stets kleiner gleich 1 sein.
Die Funktionen sin und cos sind auf ganz R (jenseits der Schule sogar auch "jenseits von R") definiert.
Du meinst wahrscheinlich, warum die Wertemenge (bei dem Definitionsbereich R) das Intervall [-1,1] ist und warum keine Werte vom Betrag >1 herauskommen?!
Was soll man dazu sagen, außer dass das an der Definition von sin bzw. cos liegt?
Genauso kann man fragen, wieso die Funktion x → x² keine negativen Werte annimmt, warum x → x³ ganz R als Wertebereich hat und warum die Exponentialfunktion x → e^x nur positive Werte annimmt.
Bei der jeweiligen Definition lässt sich das eben beweisen!
(Anschaulich: Denke mal daran, wie man die Werte sin(x), cos(x) im Einheitskreis als Streckenlängen "sehen" kann! Diese Strecken, die ja parallel zu den Achsen verlaufen, haben offensichtlich eine Länge <=1.)
Definieren kann man die Funktion, und aus der Definition ergibt sich der Wertebereich, je nachdem wie die Definition der Funktion aussieht. Man kann nicht zu einer Funktion den Wertebereich "definieren", sondern sich nur fragen, welchen Wertebereich die Funktion hat. Für tan ist das ganz R. tan(x) ist genau dann definiert, wenn cos(x) nicht 0 ist (tan = sin/cos).
Der Sinus ist definiert als Verhältnis von Gegenkathete und Hypothese in einem rechtwinkligen Dreieck. Bei 90 Grad ist die Hypothenuse so groß wie die Gegenkathete, größer als 1 kann es nie werden. Bei 91 ist es wieder kleiner.
danke aber gibt es eine solche Definition mit den Werten von dem Tangens auch?