Warum ist die Integrationskonstante nach dem integrieren mit linearer Substitution anders als nach dem Ausmultiplizieren?

Hi, unserem Mathekurs ist aufgefallen, dass beispielsweise beim Integrieren von einer Funktion

f(x) = (3x+2)³

die Stammfunktion nach linearer Substitution eine andere Integrationskonstante aufweist, als die nach dem Ausmultiplizieren. Warum ist das so, beziehungsweise wie hängen die beiden Konstanten voneinander ab?

Answer 1

[UlrichNagel]

Die Kettenregel rückwärts anwenden geht hier nicht, da die innere Ableitung 3x fehlt. Also einfach umformen in die Polynomform und alle Glieder einzeln integrieren + C (Integrationskonstante)

Comments

[ac1000]

*sigh*

∫(3x+2)³dx

Substitution: u=3x+2 ---> du =3dx ---> dx = 1/3 du

Somit:

∫(3x+2)³dx =

∫ u³/3 du =

1/4 * u^4 /3 + C =

1/12 * u^4 + C =

1/12 * (3x+2)^4 + C

Answer 2

[Rhenane]

Die Integrationskonstante ist ein beliebiger Wert, daher gibt es auch nicht DIE Stammfunktion.
f(x)=(3x+2)³ ; (Ableitung von 3x+2=3)
integriert mit linearer Substitution: F1(x)=1/(4*3)(3x+2)^4=1/12(3x+2)^4  +C1

f(x) ausmulitpliziert: f(x)=27x³+54x²+36x+8
"Standardintegration": F2(x)=27/4x^4+18x³+18x²+8x  +C2

F1(x) ausmultipliziert: F1(x)=27/4x^4+18x³+18x²+8x+(16  +C1)

Im Grunde spielt das C keine besondere Rolle. Beim "Zurückableiten" fällt es weg, genauso wie beim bestimmen des bestimmten Integrals innerhalb zweier Grenzen.

(Wählst Du C1=0 und C2=16 hast Du bei beiden Stammfunktionen das "Anhängsel" gleich...)