Warum ist das arithmetische Mittel aussagekräftiger?

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Stell dir vor du hättest ein Zeugnis mit drei Noten: 1,1 und 6.Während das arethmetische Mittel den "Ausreißer"(also die 6) mit einbezieht(1+1+6=8, 8:3=~2,67) lässt der Median die 6 außenvor (da er nur die Mitte der Zahlen angibt).Dadurch lässt sich beim Zeugnis jede Note mit einbeziehen.

Auch wenn die Frage schon alt ist, die Antworten bereiten ungemeine Schmerzen.

Das arithmetische Mittel zum Vergleich von verschiedenen Klassen ist falsch. Es geht hier nicht um Genauigkeit, es ist einfach nicht anwendbar. Das arithmetische Mittel darf auschließlich bei Merkmalen mit einer Kardinal Skala angewandt werden.

Voraussetzung für die Kardinal Skala ist, dass der Abstand zwischen den einzelnen Merkmalsausprägungen (1, 2, 3, 4, 5, 6) identisch ist. Wenn wir jetzt die Bandbreite der Noten/Punkte Zuordnung einer typischen Schularbeit betrachten ist die Spannweite für die 1 nur zwischen 5 und 10% währen die 4 vermutlich 20-25% einnimmt.

Was ist daran jetzt schlimm?

Stellen Sie sich vor, der Lehrer Müller einer 15 (sie können das gerne auf eine x beliebige Klassengröße anpassen) Köpfigen Französisch Gruppe ist inkompetent. Ein Teil der Schüler war im Austausch in Frankreich und beherrscht die Sprache gut und schreibt deswegen gute Noten.

Die Gruppe schreibt die Noten 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 1, 1, 1, 1, 1

Median: 6
Arithmetisches Mittel: 4,3

Jetzt wird die Frage in den Raum gestellt: "Herr Müller, sind Ihre Tests zu schwer?"

Mit dem arithmetischen Mittel wird Herr Müller jetzt argumentieren "Frau Maier, im Schnitt haben alle Schüler eine 4 mit Ausreisern nach oben und unten, mein Kurs ist eben anspruchsvoll"

Fazit

Theoretisch hat alles gepasst, es bleiben aber 2/3 der Schüler sitzen

der Median beschreibt den Punkt, an dem die Hälfte der Werte höher und die andere Hälfte niedriger sind.

Das arithmetische Mittel beschreibt die Note, die sich ergibt, wenn du alle zusammenzählst und durch die Anzahl teilst.

Das heißt, hättest du zum Beispiel 8 Mal die Note 6, 8 Mal die Note 3 und vier Mal die Note 4, so würde beim Median 4 herauskommen, beim arithmetischen Mittel 4,4.

Das heißt beim Median ist es mehr oder weniger egal, wie schlecht die schlechten sind und wie gut die guten, es kommt nur darauf an, wie viele es sind.

Beim arithmetischen Mittel sind die Notenwerte wichtiger.

Das arithmetische Mittel gewichtet alle Elemente gleich.

Der Median ist der Mittelpunkt einer sortierten Folge.

Da du nur eine begrenzte Anzahl an Noten hast (1, 2, 3, 4, 5, 6) ist der Median immer eine von ihnen. Das Arithmetische Mittel kann auch was dazwischen sein (z.B. 3,123) -> genauer

  • der Median ist ein bloßes kombinatorisches Maß: aus der Stichprobe X[0]<X[1]< … <X[n–1] wird der Median bloß aufgrund der Indizien berechnet (X[k] für ein k, das nur von n abhängt).
  • der Mittelwert dagegen zieht die Verteilung in Betracht, und ist somit ein stochastisches Maß: aus der Stichprobe wird ∫ x·dµ(x) berechnet, wobei µ das Wahrscheinlichkeitsmaß ist, was die relative Häufigkeit der Werte umfasst.

Das sind die wesentliche Unterschiede zwischen diesen Werten. Dadurch, dass er ein von Natur her stochastisches Maß ist, ist der Mittelwert der aussagekräftigere.

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