Warum habe ich da die Graphen falsch gezeichnet?

Daneben stehen die Funktionsterme. Könnt ihr mir bitte genau sagen, wo mein Fehler liegt?

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Der Kosinus ist zum Sinus um π/2 nach links verschoben: $\cos \left(x \right) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$

Damit gilt $\cos \left( 2 \left(x + \frac{\pi}{4} \right) \right) = \cos \left( 2 x + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left(2x + \pi \right) = \sin \left(2 \left(x + \frac{\pi}{2} \right) \right)$ Die beiden Funktionen sind also gleich und sehen so aus.

Im Vergleich zum Standardsinus hat der doppelte Frequenz, d.h. halbe Periodenlänge, nämlich π statt 2π. Doppelte Amplitude wäre es, wenn die Zwei als Faktor vor dem Sinus wäre. Hier ist aber die Zwei innerhalb des Sinus. Außerdem ist der Graph um π/2 nach links verschoben. Da die Periodenlänge π ist, ist der Graph somit um eine halbe Periodenlänge verschoben und man könnte auch einfach $f(x) = g(x) = -\sin \left(2 x \right)$ schreiben.

Die Ableitung an der Stelle 0 wäre -2.

An der Stelle sinkt die Funktion genaso stark wie eine Gerade mit der Steigung -2. In deinem Bild verläuft der Graph dagegen senkrecht.

Comments

[Lenchen2007]

Danke. Die Sinusfunktion verstehe ich jetzt. Doch inwiefern ist die Kosinusfunktion dann noch verschoben? Der Ursprung ist doch immernoch bei Pi/2?

[Mathmaninoff, UserMod Light]

@Lenchen2007

Der Ursprung ist in einem Koordinatensystem grundsätzlich bei (0, 0).

Wie oben in meiner Antwort beschrieben kann man immer durch Verschiebung um π/2 zwischen Sinus und Kosinus umrechnen.

Hier nochmal genauer, wie man auf die -sin(2x) kommt:

Bei der gegebenen Funktion wechselt das Vorzeichen erstmals bei π/2 von Minus nach Plus. Darum kann man die Funktion als einen um π/2 nach rechts verschobenen in x-Richtung gestauchten Sinus sehen.

Wegen

$\sin \left( x \right) = \sin \left( \pi -x \right), \quad \sin \left( -x \right) = -\sin \left(x \right)$ gilt:

$\sin \left( 2 \left( x +\frac{\pi}{2} \right) \right) = \sin \left( 2x + \pi \right) = \sin \left( \pi - \left(2x + \pi \right) \right) = \sin \left(-2x \right) = - \sin \left(2x \right)$ So kann man die Funktion auch um einen an der x-Achse gespiegelten in x-Richtung gestauchten Sinus sehen.

Answer 2

[SeifenkistenBOB]

kann man leider kaum lesen...

Wenn da steht g(x)=cos(2(x+pi/2)), dann stimmt nur die Skalierung nicht.

Der Graph wird nur entlang der y-Achse gestreckt, wenn vor der Funktion eine enstprechende Konstante steht (z.B. 2). D.h. bei h(x) = 2*cos(x) schneidet der Graph die y-Achse bei y=2.

Wenn die Zwei im Argument steht, dann wird der Graph entlang der x-Achse gestaucht.

Oder ganz allgemein: Eine Konstante im Argument der Funktion staucht, streckt und/oder spiegelt den Graphen entlang der x-Achse.

Darüber hinaus ist der Graph ein bisschen zu bauchig geraten. Die Steigung an den Nullpunkten ist eigentlich geringer.

Comments

[Lenchen2007]

Danke! Ja, das mit der y Achse habe ich selbst schon gemerkt.

Hm, da steht cos(2(x+Pi/4))

[SeifenkistenBOB]

@Lenchen2007

Dann musst doch noch mal ran.

Löse mal jeweils die innere Klammer auf, dann siehst du gleich, was/ob es noch etwas zu tun gibt... ;)