Warum erhält man 0=0, wenn eine Gleichung in sich selbst einsetzt?
Also mir ist das ganze aufgefallen, als ich das Einsetzungsverfahren ausprobiert hab. Hier ein Beispiel:
Normalerweise würde man jetzt z.B. die II nach x umstellen, also x = 6-y. Und ann das in I einsetzen. Alles gut. Aber mir ist es letztens mal aus Verstehen passiert, dass ich das dann wieder in die II eingesetzt hab. Und dann erhält man 0=0. Also warum erhalte ich eine wahre Aussage, wenn ich eine Gleichung in sich selbst wieder einsetze?
8 Antworten
Wenn man die Lösung bzw. die Lösungen in eine Gleichung einsetzt, erhält man eine wahre Aussage.
In diesem Fall sind die Lösungen Zahlenpaare (x, y), mit x = 6-y erhalten wir die Zahlenpaare (6-y, y ) als Lösung. Diese, eingesetzt in die Gleichung, muss daher zu einer wahren Aussage führen, was es auch tut.
x = 6-y bzw. die Zahlenpaare (6-y, y ) - wobei y eine beliebige Zahl ist - repräsentieren ebenfalls eine echte Lösung, nämlich die der Gleichung x+y=6 , das ist eine Gleichung mit 2 Variablen mit den unendlich vielen Zahlenpaaren (6-y, y ) als Lösung. Setzt man (6-y, y ) in (I) ein, erhält man aus den unendlich vielen Zahlenpaaren (6-y, y ) jenes Zahlenpaar (8, -2) , das nicht nur Lösung der Gleichung (II) sondern auch der Gleichung (I) ist. Wenn man (8, -2) in die Gleichungen einsetzt, erhält man 8=8 oder 6=6, bzw. nach Division jeweils ebenfalls O=O.
Im Prinzip hast du ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Variablen. Nur sind es im erwähnten Fall dann zweimal die gleiche Gleichung. D.h. die zweite Gleichung ändert an der Lösung nichts. Eine einzige lineare Gleichung mit 2 Variablen hat aber für jedes beliebige x ein y als Lösung (von sehr speziellen Ausnahmen man abgesehen). Eine Gleichung mit 2 Variablen hat also unendlich viele Lösungen d.h. jedes x und jedes y kann als Lösung vorkommen. Die Gleichung 0 = 0 ist für jedes x und für jedes y wahr und dies ist ja auch die Lösung.
Du machst ja im Prinzip nichts anderes, als das Gleiche zwei mal hinzuschreiben.
Wenn du dann sortierst und vereinfacht, bleibt nichts über, als eine immer wahre Aussage.
0 = 0 ist immer wahr. Das heist nichts anderes: Egal was du für x und y einsetzt in der einen Gleichung, die andere Gleichung wird mit denselben x und y auch aufgehen.
Geometrisch gesehen sind das zwei Geraden auf einer 2D Ebene, die aufeinanderliegen.
Logisch betrachet: Wenn du Irgendetwas hast und dieses Irgendetwas wegnimmst, wirst du IMMER Nichts am Ende haben. Das gilt für ALLES.
Naja, wenn du die Gleichung nach x umstellst, dann findest du das x, so dass die Gleichung erfüllt ist. Wenn du das x dann wieder einsetzt, dann ist die Gleichung offensichtlich erfüllt, weil du ja genau das x einsetzt, sodass die Gleichung erfüllt ist. Es kommt also 0=0 raus. Wenn du das ganze normal lösen würdest, dh erst nach x umstellst, in die i) einsetzt und dann nach y umstellst und explizite Lösungen für x und y bekommst, dann kannst du die ja auch wieder einsetzen und bekommst 0=0 bei beiden Gleichungen
Danke, ich habs verstanden. Und warum bekomme ich dann eine "echte Lösung", wenn ich in I einsetze?