Warum bildet Wurzel (1-x^2) einen halbkreis ab?

Hallo Leute ich hätte eine Frage, und zwar warum bildet die Funktion $f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$ die "obere" Hälfte eines Kreises ab. Das habe ich gerade entdeckt beim herumspielen in Geogebra. Hat das ein Grund ? Ist es eher dem zufall geschuldet das es so aussieht ? hoffe einer kann mir das verständlich erklären.

Answer 1

[Gainz4Dayz]

Nichts ist dem Zufall geschuldet in Mathematik :D

Die Kreisgleichung lautet:

$\left(x-x_0\right)^2\ +\ \left(y-y_0\right)^2\ =\ R^2$

Mit dem Ursprung in (x0, Y0) und dem Radius R.

Jetzt nehmen wir den Ursprung (0,0), R=1 und ersetzen y = f(x), dann haben wir:

$x^2\ +\ f^2\left(x\right)\ =\ 1^2$

$\Longleftrightarrow\ f^2\left(x\right)\ =\ 1-x^2$ $\Longleftrightarrow\ f\left(x\right)\ =\ \pm\sqrt{1-x^2}$

Für den oberen Halbkreis gilt:

$\Longleftrightarrow\ f\left(x\right)\ =\ \sqrt{1-x^2}$

Ich hoffe, das war soweit verständlich ^-^

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[dodospalter88]

viele dank:)

Answer 2

[gfntom]

Berechne mal den Abstand vom Ursprung (mit Pythagoras)

Also Wurzel (f(x)² + x²)

Du wirst sehen, dass alle Punkte den Abstand 1 vom Ursprung haben, also auf eunem Kreis liegen müssen.

Answer 3

[nobytree2]

$f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$

$\left(f\left(x\right)\right)^2=1-x^2$ $f^2\left(x\right)+x^2=1\ \ und\ mit\ f\left(x\right)=y\ haben\ wir\$

$y^2+x^2=1=1^2$

und das sieht doch verdächtig nach Pythagoras aus ..

Answer 4

[guterfrager401]

https://rechneronline.de/funktionsgraphen/ macht das auch!

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[guterfrager401]

wenn man +- Wurzel (1-x^2) machen würde, hätte man einen Vollkreis.

[guterfrager401]

@guterfrager401

und ich suche jahrelang nach einer Formel für einen Kreis. Hab den immer mit sinus und solchen funktionen gemacht, aber dass es auch so einfach geht!

Answer 5

[Kalkablagerung]

Wir kennen ja den Satz des Pythagoras: a² + b² = c²

Umgestellt auch b² = c² - a²

b repräsentiert hier also An- oder Gegenkathete im Dreieck. Die Hypotenuse c setzt du ja in der Formel 1, was bedeutet: $f\left(x\right)\ =\ \sqrt{1\ -\ x^2}$

Y ist quasi immer die Ankathete für die jeweilige Gegenkathete. Und wenn man sich Kosinus und Sinus anschaut, sieht man schnell, wie das im Einheitskreis aussieht.

Sorry, falls ich es schlecht erklärt habe... Aber das wäre jetzt mein Approach, um herauszufinden, wieso das so aussieht.

Woher ich das weiß: Hobby

Comments

[dodospalter88]

danke^^