Wan benutzt man ln und wann log.?! / MAthematik
ich dachte ,dass mann ln ,bei e-Funktionen benutzt .. aber dann verstehe ich nicht warum man bei 2^x eine ln benutzten muss...da steht doch kein e.. !??!
3 Antworten
...siehe Melvissimo.
- Der "Punkt" an der Geschichte ist, dass du die Ableitung von e^t schon kennst (nämlich (e^t)' = e^t ), und deswegen eine andere Exponentialfunktion per Kettenregel ableiten kannst, wenn du sie auf diese Form bringst:
(2^x)' =
[siehe Melvissimo]
e^(ln(2^x) ) ' =
e^(x ln(2) ) ' =
mit innerer Funktion v(x) = t = x * ln(2) ⇒ v'(x) = ln(2)
und äußerer Funktion u(t) = y = e^t ⇒ u'(t) = e^t nach Kettenregel:
e^(x ln(2) ) * ln(2) =
Rückverwandlung der e-Funktion:
ln(2) * 2^x.
- Das geht entsprechend für die Ableitung aller Exponentialfunktionen
y = a^x ;
per Definition der Exponentialfunktion ist 0 < a ≠ 1, x ∈ R ( -> Fingerübung für dich)
Es ist vermutlich einfach egal, welchen Logarithmus du genau verwendest... Schließlich ist
2^x = e^(x * ln(2)), also kann man die Basis - wenn man möchte - durchaus zu e abändern. Leider kenne ich den Zusammenhang überhaupt nicht... Was ist eigentlich dein Ziel? Warum willst du logarithmieren? Willst du ne Gleichung lösen?
Du hast doch gar keine Gleichung da stehen, sondern nur einen Term. Ohne Gleichung kannst du nunmal auch keine Gleichung nach x auflösen, also wird am Ende nicht so etwas wie "x = ..." da stehen. Ich habe lediglich den Term umgeformt:
Der natürliche Logarithmus ln ist die Umkehrung der e-Funktion. Das bedeutet, dass
e^ln(x) = x ist für alle positiven Zahlen x. Das nutze ich aus:
e^ln(2) = 2, also kann ich die 2 in 2^x ersetzen:
2^x = (e^ln(2))^x. Nun nutze ich nur noch die Potenzgesetze und komme sofort auf den Term, den ich oben aufgeschrieben hab.
Wer behauptet denn, das man das muss?
Hallo nochmal (besser spät als nie). Theoretisch kann man jeden Logarithmus einsetzen denn es gibt die möglichkeit dies umzurechnen. (google mal logharithmus Basiswechsel). Ich denke darum geht es gerade, aber prinzipiell haste recht und am einfachsten ist es den der gleichen Basis zu nehemen, aber das können nicht alle Taschenrechner (oder mittlerweile doch?)
ne die ableitung von 2^x bilden