Wozu und wann brauche ich den logarithmus naturales (ln)?
Warum brauche ich ln, obwohl sich kein e^x in der Gleichung befindet? Die Aufgabe ist:
3^(-x) = 9 Um auf die Lösung zu kommen braucht man ln(3). Warum nicht log von 9 zur Basis 3? Es kommt doch garkein e in der Gleichung vor?
4 Antworten
Du kannst die Gleichung auf beide Arten lösen, der natürliche Logarithmus (ln) ist nicht zwingend erforderlich, du musst nur aufpassen, dass du bei Anwendung eines Logarithmus in der gleichen Form bleibst und nicht den natürlichen Logarithmus mit dem dekadischen oder irgendeiner anderen Basis vermischst.
Ich wäre hier aber bei dir, ein Logarithmus zur Basis 3 wäre angebrachter bzw ich würde – da es sowieso zu einer Division kommt – sogar eher den dekadischen nehmen.
3^(-x) = 9
(-x) lg 3 = lg 9
-x = lg(9) / lg (3)
x = - lg(9) / lg (3)
Das letzte musst du im Taschenrechner einfach nur mehr durchtippen.
Genau :)
Naja, es sei denn es bietet sich aus rechnerischer Sicht an, den natürlichen bzw den dekadischen zu verwenden (eben, wenn du eine eulersche Zahl oder ein 10^(x) in der Gleichung hast) und sich dadurch etwas wegkürzen oder vereinfachen würde.
Viele denken bei "hoch...x" immer an "x mal mit sich selbst multiplizieren"
Das ist aber ein Spezialfall für ganze Potenzen!!
Wenn man aber beliebige Zahlentypen beliebig genau berechnen will, gilt:
a^b = e^(log(a) * b) = exp(log(a) * b)
Analog zur Log-Funktion:
log(x)=ln(x) Basis e
Alles andere sind nur "Spezialfälle" und werden (von jedem Rechner) per
logBasisA(b) = log(b)/log(A)
berechnet!
Für log(x) und e^x gibt es genug Algorithmen wie:
Reihen
Iterationen
Kettenbrüche usw.
um den Funktionswert beliebig genau berechnen zu können.
Prinzipiell kannst du jeden Logarithmus nehmen, du musst das ganze nur konsistent durchziehen.
Du kannst zB auch rechnen -x*log(3) = log(9)
oder wenn lb der Logarithmus zur Basis zwei ist kannst du auch rechnen:
-x*lb(3) = lb(9)
usw...
Es wird etwas später in deiner Schulzeit Horden von Funktionen geben, die e^x enthalten. Um verschiedene Dinge mit diesen anzustellen, brauchst du häufig auch die Umkehrfunktion, eben den Logarithmus naturalis (so schreibt man den). Aber da musst du auf Differential- und Integralrechnung warten.
Das Gemeine ist, dass man den Log dann meist schon wieder vergessen hat. Also präg ihn dir gut ein.
e^x = a
ln a = x
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Wieso meinst du, dass du bei deiner Aufgabe den ln brauchst?
Das heißt, dass es völlig egal ist, welche Basis der Logarithmus hat, solange ich auf beiden "Seiten" der Gleichung den gleichen verwende?