Wahrscheinlichkeitsrechnung Logarithmus?
Hi,
ich lerne gerade für mein Abitur und da ist mir bei einer Aufgabe etwas aufgefallen. Es ist n gesucht, sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% sich mindestens ein Dieselfahrzeug unter den ausgewählten Fahrzeugen befindet. Jetzt meine Frage:
0,8^n < 0,05 (kleiner gleich)
Kann ich hier nicht anstatt mit dem ln einfach mit dem log mit der Basis 0,8 logarithmieren? Am Ende habe ich dann den selben Wert für n.
n < log0,8(0,05) [≈13,43]
Nur verstehe ich nicht, wie das dann mit dem Zeichen funktioniert, da dieses ja dann n kleiner als den Wert darstellt. Mit dem ln wird das ja irgendwie umgedreht. Muss man das hier auch oder ist es dann falsch das so zu rechnen?
3 Antworten
Da log_a(b) = log(a) / log(b), kannst du natürlich auch gleich den Logarithmus zur Basis 0,8 nehmen.
Allerdings:
Logarithmen zu Basen zwischen 0 und 1 sind streng monoton fallend, die Ungleichungen kehren sich bein Logarithmieren folglich um.
Hmmmm. Um ehrlich zu sein bin ich gerade auch nicht ganz sicher, aber das < Zeichen müsste sich aufjeden Fall umdrehen, also n > 13,43. Du kannst ja zb n = 1 einsetzen, dann wäre 0.8¹ = 0.8 und das ist ja aufjeden Fall nicht kleiner als 0,05
Achso, wie PWolff geschrieben hat: der ln von 0.8 und 0.05 ist negativ, also dreht sich das < Zeichen zu > um
Zunächst: Wegen "mindestens" musst du ≥ verwenden.
Zur Basisfrage: Die Basis vom Logarithmus spielt für die Lösung keine Rolle, da du die verschiedenen Basen ineinander umrechnen kannst. Da gibt es 'nen Basiswechselsatz zu.
Der sagt aus: log_a (x)=log_b (x) / log_b (a). So kannst du dann auch log_0.8 zu log_e, also zu ln überführen. Mit dem Standardweg kommt man auf ln(0.05)/ln(0.8) als Abschätzung für n, und wenn wir da jetzt den Basiswechelsatz draufpfeffern, kommt log_0.8 (0.05) raus.
Zur Frage mit dem "kleiner als"-Zeichen: Das dreht sich um, wenn du beide Seiten mit einem Wert multiplizierst oder dividierst, der kleiner als 0 ist. Das tust du hier aber gar nicht. Wieso muss man also umdrehen?
Die Begründung liegt in der Monotonie des log_0.8 begründet. Dieser ist streng monoton fallend (das gilt für Basen zwischen 0 und 1 grundsätzlich).
Allgemein gilt: Ist eine Funktion f streng monoton fallend, so folgt aus a≤b die Ungleichung f(a)≥(b).
Aus 0.8^n≤0.05 folgt also log_0.8 (0.8^n) ≥ log_0.8 (0.05), also n≥log_0.8 (0.05).
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Den Satz mit den streng monotonen Funktionen hat man aber afaik nicht wirklich im Abi. Man geht hier in den Musterlösungen ja den umständlicheren Weg mit dem ln, also
0.8^n ≤ 0.05 ⇔ n*ln(0.8) ≤ ln(0.05) ⇔ n≥ln(0.05)/ln(0.8)
Hier drehte sich zum Schluss die Ungleichung, weil 0<ln(0.8)<1 gilt.
