Ln und Log/lg?
Guten Tag,
ich habe einr Frage bezüglich Mathe es geht um den LN und den LOG/LG.
Der LN ist die Basis e, also den Ln nutze ich wenn ich die Basis e habe.
Der LG ist die Basis 10, also nutze ich dies wenn ich die Basis 10 habe.
Meine Frage ist nun die nutze ich den LG/LOG nur bei der Zahl 10 oder geht es immer?
Bzw warum geht auch immer der LN
Wäre sehr dankbar auf eine "SIMPEL FORMULIERTE" Antwort
Lg
6 Antworten
Warum alle Logarithmen "gleich" sind: Die Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nicht besonders voneinander, denn es gilt (ich schreibe log_a(x) fuer den Logarithmus zur Basis a von x):
log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)
Wie Du siehst, kommt auf der linken Seite der Logarithmus zur Basis a vor, auf der rechten nur der Logarithmus zur Basis b. Diese Formel bezeichnet man daher auch als "Basisumrechnung". Nochmal anders formuliert: Wenn man die Logarithmen zu irgendeiner Basis ausrechnen kann, dann kann man automatisch auch die Logarithmen zu allen anderen Basen bestimmen!
Beispiel zur Basisumrechnung: Sagen wir, unser Taschenrechner koennte nur den Zehner-Logarithmus lg = log_10 von Zahlen bestimmen, aber wir wollen log_7(5) berechnen. Kein Problem:
log_7(5) = log_10(5) / log_10(7)
Auf der rechten Seite kommt nur noch log_10 vor! Das ist damit gemeint, dass sich die Logarithmen zu verschiedenen Basen "nicht besonders" voneinander unterscheiden - man kann sie eben ineinander umrechnen.
Potenzgleichungen: Das ist der Grund, warum man zum Loesen von Potenzgleichungen im Prinzip stets jeden Logarithmus verwenden kann! Wir erinnern uns zunaechst an das Logarithmengesetz
log_a(y^x) = x * log_a(y)
welches fuer jede Basis a gilt. Wir wollen dies nutzen, um die Gleichung 7^x = 5 nach x aufzuloesen. Hier zwei verschiedene Rechenwege:
- Nimmt man auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 10, ergibt sich log_10(7^x) = log_10(5). Umgeformt also x * log_10(7) = log_10(5). Das bedeutet schliesslich x = log_10(5) / log_10(7).
- Nimmt man auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 7, ergibt sich log_7(7^x) = log_7(5). Umgeformt also x * log_7(7) = log_7(5). Der Witz hier ist, dass log_7(7) = 1 gilt, sodass wir direkt x = log_7(5) erhalten.
Analyse: In der zweiten Variante sieht man, warum der Logarithmus zur Basis 7 eben zu der 7er-Potenz "passt". Wenn 7^x = 5, dann eben x = log_7(5). Durch diese Eigenschaft wird der Logarithmus ja definiert. Nimmt man wie in der ersten Variante nicht den "passenden" Logarithmus, so erhaelt man die Loesung der Gleichung eben umgerechnet in eine andere Basis x = log_10(5) / log_10(7). Natuerlich sind die beiden Loesungen gleich! Fuer das Loesen von Potenzgleichungen spielt es also nicht wirklich eine Rolle, welchen Logarithmus man verwendet.
LN, LG? Ein Leistungsnachweis für Mathe in Lüneburg?
Solltest Du mit Logarithmen arbeiten wollen, sind das ausnahmslos Kleinbuchstaben:
log für Logarithmen allgemein, für die dann die Basis angibst. Auf dem Taschenrechner steht log für lg = log₁₀ ,
lg für den Dekadischen Logarithmus zur Basis 10,
lb für den Binären Logarithmus zur Basis 2,
ln für den logarithmus naturalis, den Natürlichen Logarithmus zur Basis der Eulerschen Zahl, e.
Für die Bezeichnungen log und lg werden die Basen gerne mal willkürlich festgelegt, je nach Anwendung. Falls die Basis nicht angegeben oder unklar ist, frage die Aufsichtsperson.
Sowohl ln (Logarithmus Naturalis) als auch der log/lg (Logarithmus Generalis) kann man bei alle Zahlen anwenden, bevorzugt jedoch den ln für die Basis e und den lg für die Basis 10.
Darüber hinaus gibt es von so gut wie jeder Zahl einen Logarithmus.
log2 (Logarithmus dualis)
log3
log4
etc.
also bei Gleichungen ist es nicht egal, ob du ln oder lg nimmst;
denn
ln (e) = 1
lg (10) = 1
zB
e^(2x) = 4
dann musst du ln nehmen;
2x = ln (4)
nee, bei Gleichungen mit e musst du ln nehmen; besser ist es, wenn du Beispiele gibst, bei denen man sieht, was du überhaupt mit logarithmus berechnen musst.
Generell bei "e-Aufgaben" ln und sonst immer lg.
Der Lg ist per Definition auf die Basis 10 ausgerichtet.
Der Log selbst geht immer, selbst Log zur Basis 10 bzw. zur Basis e, dennoch wurden Logarithmen dafür speziell formuliert (ln, lg)