Wahrscheinlichster Abstand eines elektrons von Kern beim Wasserstoffatom berechnen?

3 Antworten

∫(0 bis pi) ∫(0 bis 2pi) dφ sin(θ) dθ r² dr = 4π

Das Problem liegt wohl hier. Da müssen wir ein bißchen weiter ausholen.

Die Wellenfunktion ψ(x,y,z) ist eine Funktion des Raumes, ordnet also jedem Raum­punkt einen Funktionswert zu. Ihr Quadrat ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, also steht ψ²(x,y,z) schlampig gesagt für die Wahrscheinlichkeits, das Elektron am Punkt x,y,z zu finden; das ist schlampig, weil ein Punkt unendlich klein ist und das Elektron daher niemals genau dort sein kann. Die besere Formulierung ist daß ψ²(x,y,z) dx dy dz die Wahrschein­lich­keit dafür ist, daß das Elektron in einem Würfelchen mit der Kantenlänge dx,dy,dz am Punkt x,y,z steckt. Damit haben wir den ∞ kleinen Punkt durch ein infinitesimal kleines Volumen ersetzt, das ist sauberer.

Wollen wir ein endliches Volumen, dann müssen wir integrieren, und zwar über ein endliches Volumen dV = dx dy dz.

Das Integral berechnet die Wahrscheinlichkeit, daß die x-Koordinate des Elektrons zwischen x₀ und x₁ liegt etc, beschreibt also einen endlich großen Würfel bzw. Quader. Die Wahl der Würfelform kommt daher, daß wir in kartesischen Koordinaten ope­rie­ren, und da ist die Figur, die durch die Koordinatenebenen (z.B. x=x₀ beschreibt eine Ebe­ne par­al­lel zu xy und xz) begrenzt wird, eben automatisch würfelig.

Jetzt wollen wir aber eine radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit berechnen (mit wel­cher Wahrscheinlichkeit ist das Ding wie weit vom Kern weg). Dafür eignen sich Polar­koordi­naten besser, weil dort r=r₀ eine Kugeloberfläche beschreibt. Außerdem wol­len wir die r-Koordinate offen lassen und nur über φ und θ integrieren, damit wir uns das nachher für beliebige r-Werte ansehen können. Auf diese Art werden wir die Koor­di­na­ten φ und θ los, für die wir uns eh nicht interessieren und von der die Wel­len­funk­tion gar nicht abhängt. Die Wellenfunktion ψ=e⁻ʳ haben wir bereits in Polar­koor­dina­ten gegeben, passt also.

Stellt sich noch die Frage, wie das Volumselement dV in Polarkoordinaten aussieht; der naïve Verdacht dr dφ dθ kann es bestimmt nicht sein, das stimmt ja nicht mal ein­hei­ten­mäßig. Richtig ist dV = r² sin(θ) dr dφ dθ, das kann man mit etwas Ge­schick geometrisch ableiten, oder formaler über die Jacobi-Determinante. Wir integrieren nur über φ und θ und bekommen:

Dabei habe ich ausgenützt, daß ψ nicht von θ und φ abhängt und daß man die bei­den Integrale von ψ loslösen kann. Das φ-Integral liefert trivialerweise 2π und das θ-In­te­gral ist −cos(π)+cos(0)=2. Damit erhalten wir P(r)=4π⋅r²⋅ψ²(r), und ich glaube, das war Deine Frage.

Damit ist auch klar, warum die Gleichung dφ sin(θ) dθ = 4π so komisch aussieht, richtig wäre ∫∫dφ sin(θ) dθ = 4π wenn man über den ganzen Gültigkeitsbereich der Va­riablen φ und θ integriert. Warum man das macht habe ich glaube ich ausführ­lich er­klärt.

In Deinen letzten drei Zeilen spüre ich noch eine Konfusion mit dem dr. In meiner Ab­lei­tung ist kein dr vorgekommen, aus dem simplen Grund, daß wir nie über r inte­griert ha­ben: Wenn man über eine Variable integriert, dann ist sie weg, und unser P(r) soll ja von r abhängen. P(r) ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte für die radiale Auf­enthalts­wahr­schein­lich­keit, also ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zwischen den Ab­stän­den r und r+dr zu treffen, genau P(r).

Die Wellenfunktion für das 1s-Orbital im Wasserstoff ist e⁻ʳ/√π, und daher ist P(r)=4r²e⁻²ʳ, dabei hat sich das 1/√π aus dem Normierungsfaktor der Funktion mit dem π aus der Winkelintegration rausgekürzt. Diese Funktion können wir jetzt z.B. be­nützen, um auszurechnen, wie wahrscheinlich es ist, daß das Elektron max. 1 bohr vom Kern entfernt aufhält, dazu summieren (≈integrieren) wir über alle Wahr­schein­lich­keits­werte von r=0 bis r=1.

Du siehst, die Integration über r kommt erst ins Spiel, wenn wir wirklich Zahlen ha­ben wollen (so wie im in der ersten Formel oben mit kartesischen Koordinaten, auch wenn ich dort keine Zahlen eingesetzt habe). Auf jeden Fall muß man dreimal inte­grie­ren, bis man eine Zahl bekommt; in der radialen Wahrscheinlichkeitsdichte sind zwei In­te­gra­tio­nen schon ausgeführt, so daß man für die Anwendung nur noch eine wei­te­re (die über dr) braucht.

(Da ich kein Integrationsweltmeister bin, habe ich die Formel aus dem Internet ab­geschrie­ben und den Zahlenwert nicht durch Einsetzen, sondern durch numerische In­tegration bestimmt. Ich hoffe, es stimmt trotzdem).

Du siehst auch, daß obwohl r=1 der häufigste Radius (Maximum der Wahrschein­lich­keits­dichte) ist, das Elektron nur 32% Aufenthaltswahrscheinlichkeit innerhalb dieses Radius hat. Das liegt natürlich daran, daß 4r²e⁻²ʳ sehr unsymmetrisch um sein Maxi­mum ist:

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Chemiestudium mit Diss über Quanten­chemie und Thermodynamik
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Es ist so schwer zu lesen, daß ich es mir nicht antun will. Stattdessen rechne ich es selber durch. Ich nehme an, daß sich das Elektron im 1s-Orbital aufhält, die zu­gehö­ri­ge Wellenfunktion ist ψₛ₌₀(r)=e⁻ʳ (wenn man atomaren Einheiten verwendet, also r in Viel­fachen des Bohr-Radius mißt), den Normierungsfaktor 1/√π können wir weg­las­sen, weil der die Lage des Maximums nicht beeinflußt.

Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem Abstand zwischen r und r+dr anzu­tref­fen, ist aber nicht einfach ψ², sondern man muß eine dünne Kugelschale mit Radius r und Dicke dr betrachten; deren Volumen ist 4πr²⋅dr (Oberfläche⋅Dicke, weil man eine dünne Kugelschale wie ein Prisma behandeln kann), also lautet die gesuchte Wahr­schein­lich­keits­dichte P(r)=r²⋅e⁻²ʳ. Dabei habe ich die 4π rausgekickt, weil wir ja nur das Maximum suchen und bereits das ψ unnormiert war, also summieren sich die Wahrscheinlichkeiten sowieso nie auf 1.

Beim groben Blicken auf Deine Frage komme ich zum Schluß, daß Du denselben Vor­faktor durch Integration über θ und φ erhalten hast. P(r)=∫∫ψ(r) r² sin(θ) dφ dθ, da kommt von der Integration übers φ ein Faktor 2π und von der übers θ ein Faktor 2, und damit haben wir es. Wichtig ist eh nur das r² (das kommt aus der Umrechung des Vo­lums­ele­men­tes dx dy dz = r² sin(θ) dr dφ dθ von kartesischen Koordinaten in Polar­koordi­naten, weil wir das ψ ja in Polarkoordinaten haben).

Und jetzt wollen wir noch schnell das Maximum von P(r)=r²⋅e⁻²ʳ berechnen. Dazu brauchen wir die erste Ableitung P’(r)=2r⋅e⁻²ʳ + r²⋅(−2)⋅e⁻²ʳ=2(r−r²)⋅e⁻²ʳ, und da die Exponentialfunktion niemals durch Null geht, kann eine Nullstelle nur aus dem Poly­nom r−r²=r⋅(1−r) rauskommen, also bei r=0 (unphysikalisch) und r=1 (richtige Lösung).

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Teil der Frage war wie man mathematisch auf dV=4πr²⋅dr kommt, weil dass müsste ja heißen dass r² sin(θ) dφ dθ = 4πr²⋅dr wass ja aber nur bei der Integration zustande kommt. Da wir nicht integrieren verstehe ich den Sinn nicht.

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@ZannerIn

Also ich verstehe schon dass das logisch ist wegen kugelvolumen, aber ohne integrieren kommt man da doch nicht hin oder?

Und wieso kann man das dr einfach weglassen?

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Ich habe mit hilfe der Zeichen die du verwendet hast die Frage überarbeitet. es müsste jetzt leserlicher sein

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