Wahrscheinlichkeitsproblem beim Kartenspiel?
Hallo, Ich bin mir unsicher bei einer wahrscheinlichkeitsrechnung. Bitte um Hilfe: Für das Experiment brauch man zwei Personen (A und B). A zieht verdeckt 5 Karten aus einem Skat Spiel (32 Karten). B tippt nun seine Vermutungen, was A gezogen hat und schreibt diese auf. Danach werden die Karten umgedreht und geschaut ob B etwas richtig getippt hat. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das B eine Karte richtig tippt? Eine Antwort wäre nett danke :)
4 Antworten
Hallo,
das ist das selbe Problem wie beim Lotto, nur mit anderen Parametern.
Du hast insgesamt 32 über 5 (Binomialkoffizient) Möglichkeiten, 5 Karten zu ziehen bzw. zu raten. Du kannst dann aus den 5 Karten, die verdeckt auf dem Tisch liegen, die erste richtig raten und aus den übrigen 31 4 beliebige. Oder du rätst die zweite richtig und aus den übrigen 30 ohne die erste, da du ja keine Möglichkeiten doppelt zählen willst, wiederum 4 beliebige. Und so weiter. Dann hast du bei (31 über 4) + (30 über 4) + ... + (27 über 4) Möglichkeiten mindestens eine Karte richtig erraten. Das teilst du durch die Anzahl aller Möglichkeiten, also 32 über 5 und hast deine Wahrscheinlichkeit.
Bei meiner ersten Antwort bin ich davon ausgegangen, dass die Person blöd genug ist, auch bereits falsch geratene Karten noch mal zu sagen. Hier wie es geht, wenn dem nicht so ist, weiterhin davon ausgehend, dass keine Karte doppelt vorkommt:
Hallo,
deine Antwort ist leider falsch, da du nicht bedacht hast, dass die Reihenfolge der Karten egal ist. Du zählst so aber einige Möglichkeiten doppelt, insbesondere kann man ja, wenn man die Karten durchnummeriert, Karte 1 erraten, dann 2 und 3 falsch raten, oder 1 und 3 und 2 usw.
Ich kann deine Rechnung auch sonst nicht ganz nachvollziehen, du willst zum Beispiel beim ersten Mal falsch raten, dann beim zweiten Mal richtig und dann beim 3. bis zum 5. Mal eine weitere Karte nicht erraten?
5 Karten von 32 - Wenn man davon ausgeht, dass keine Karte doppelt vorkommt 5/32. Wenn man nicht davon ausgeht musst du mir ersteinmal sagen, welche Karte wie oft in einem Skatspiel vorkommt ^^.
Gegeben seien K1, K2, …, K5 die k=5 von A ausgewählten Karten. B wählt jetzt k=5 Karten von den n=32 Karten insgesamt. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten für ihn sind (n über k). Die Gesamtzahl der Möglichkeiten für ihn, dass er nichts von As Karten erwischt ist (n–k über k), d. h. er wählt k Karten von den anderen n–k Karten, die nicht unter K1, K2, …, K5 liegen. Die bedingte W-keit also, dass er keine der Karten erwischt ist (n–k über k) / (n über k).
Da diese bedingte W-keit konstant ist für jede mögliche Auswahl von A, ist die absolute W-keit, dass B keine von As Karten erwischt, gleich (n–k über k) / (n über k). Darum gilt
ℙ[B erwischt ≥ 1] = 1 – ℙ[B erwischt 0]
= 1 – (n–k über k) / (n über k)
= 1 – ∏(n–k-i)/(n-i)
Produkt über i von 0 bis k–1
= 1 – ∏(32–5-i)/(32-i)
Produkt über i von 0 bis 5–1
≈ 59,910814 %
Falls du dich wunderst und dir sorgen machst, meine Lösung stimmt mit [Christoph987]s Lösung exakt überein:
Meine Lösung = 1 – (n–k über k) / (n über k) = [(n über k)–(n–k über k)] / (n über k). Es nun gilt im Allgemeinen:
∑ (j über k–1) = (n über k)
Summe über j von 0 bis n–1
sodass
(n über k) – (n–k über k)
= ∑(j über k-1) Summe über j von 0 bis n–1
– ∑(j über k-1) Summe über j von 0 bis n–k-1
= ∑(j über k-1) Summe über j von n-k bis n–1
= ∑(j über 4) Summe über j von 32-5 bis 32-1
= ∑(j über 4) Summe über j von 27 bis 31
Also gilt
Meine Lösung = 1 – (n–k über k) / (n über k)
= (n über k) – (n–k über k)
-------------------------
(n über k)
= ∑(j über 4) Summe über j von 27 bis 31
-----------------------------------------
(32 über 5)
= (31 über 4) + (30 über 4) + ... + (27 über 4)
---------------------------------------------
(32 über 5)
= Lösung von [Christoph987]