Vom R3 in den R2 abbilden?
Ich erlebe mich mal wieder total überfodert vom deutschen Bildungssystem und krieg nach mehrstündiger Recherche die einfachsten Grundlagen nicht auf die Kette.
Ich weiß, dass eine Abbildung linear ist, wenn gilt:
L1: f ( v + w) = f(v) + f(w)
L2: f ( λ * v) = λ * f(v)
So, jetzt bild ich aber vom R³ in den R² ab. Wie soll das denn bitte gehen?! Da bekommt doch jedes Element von R³ gar nicht alles aus R² zugewiesen. Soll ich jetzt x mit (x-z) addieren und y mit (z - y). Oder x mit 'x - z' und 'z-y' und danach y mit 'x-z' usw.? Oder soll man bei der b) den einen Vektor in den anderen reinpressen, weil sie miteinander verknüpft? Oder soll ich am besten gleich mein Traumstudium aufgeben und lieber zur Jura wechseln? Hilfe..:(
4 Antworten
Hallo,
In der Aufgabe wird die Abbildung f durch das Bild eines Spaltenvektors definiert.
Man kann sie auch durch eine Matrixmultiplikation und als Bilder der Basisvektoren
des ℝ³ definieren. Vielleicht helfen dir die Erläuterungen.
Keine Sorge, am Anfang sind diese Sachen neu. Man braucht Zeit und gedankliche Arbeit, um sich daran zu gewöhnen und sie zu verstehen.
Gruß
Nimm v = (v_1, v_2, v_3) und w = (w_1, w_2, w_3). Rechne f(v +w) aus nach deiner Vorschrift. Dann f(v) + f(w), ebenfalls so. Dann vergleiche die Ergebnisse.
Ob nun jedes Element aus R2 ein Urbild hat oder zwei Elemente aus R2 auch verschiedene Urbilder, darum geht es hier nicht. Lineare Abbildungen sind strukturerhaltende Abbildungen zwischen Vektorräumen. Wenn sie außerdem bijektiv sind, dann sind es Isomorphismen. Die Abbildung in a) ist nicht injektiv, aber sie kann dennoch linear sein.
Es ging nur um a), oder?
Nein, so:
f(v1 + w1,...) = (v1 + w1 - v3 - w3, v3 + w3 - v2 - w2)
f(v) + f(w) = (v1-v3, v3-v2) + (w1 - w3, w3- w2) = (v1-v3+w1-w3, v3-v2+w3-w2)
Kommt dasselbe raus.
Nimm zwei Vektoren (u_1, u_2, u_3) und (v_1, v_2, v_3) und berechne dafür dann eben f(u), f(v) und f(u+v). Bzw. für die zweite Zeile genauso.
Nimm mal Beispielvektoren für v und w, vielleicht wird es dann etwas einfacher.
f( v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3) = f (v1, v2, v3) + f (w1, w2, w3)
Aber das ist doch nur die Definition abgeschrieben, nicht spezifisch auf die Aufgabe angewandt. Oder soll man jetzt (x + w)* (x-z) + (y + w) * (x - y) + z * 0 rechnen?