Vollständige Induktion Hilfe?

Guten Tag habe leider das Induktionsverfahren nicht wirklich verstanden. Hoffe mir kann einer Helfen.

Zeigen Sie durch vollständige Induktion nach n, dass 3^n > 2^(n+2) für alle ¨ n ≥ n0 gilt.

Induktionsanfang: Hier weiß ich nicht ob ich bei n=0 oder N=1 anfangen muss.

Problem was ich habe ist, dass es für beide nicht wahr ist.

3^1=3 3^0=1

2^(1+2)=8 2^(0+2)=4

Aber für n=4 ist es wahr also ist hier der IAnfang?

Induktionsvorraussetzung Es gilt 3^n > 2^(n+2) für ein beliebiges n element von N

Induktionsbh: Es gilt 3^(n+1) > 2^((n+1)+2)

Induktionsschritt: 3^(n+1) > 2^((n+1)+2) und dass hier soll aufgelöst werden oder so?

Keine Ahnung wie. Bitte um Hilfe.

Answer 1

[tunik123]

Man muss bei n0 anfangen. Das kleinste n0, für das der Induktionsanfang gilt, ist 4 (also weder 0 noch 1).

Es gelte 3^n > 2^(n+2)

Wenn man die linke Seite mit 3 und die rechte mit 2 multipliziert, bleibt die Ungleichung erhalten, denn 3 > 2.

3^n * 3 > 2^(n+2) * 2

3^n * 3^1 > 2^(n+2) * 2^1

3^(n + 1) > 2^(n + 2 + 1)

was zu beweisen war

Answer 2

[nobytree2]

Für 0 bis 3 ist es falsch, für n größer gleich 4 ist es richtig. Beweis für n = 4 mit

$3^4=81>64=2^{2+4}$ und jetzt für n+1 mit Annahme dass

$3^n>2^{n+2}\ \ für\ n\ge4$

$3^{n+1}=3\cdot3^n>3\cdot\left(2^{n+2}\right)>2\cdot2^{n+2}=2^{n+3}=2^{\left(n+1\right)+2}\ qed$

Wir haben es für n=4 sowie für alle Nachfolge von 4 bewiesen, also für n größer gleich 4.