verschiedene Funktion zuordnen?
moin,
Wir machen im Mathe LK 11 gerade eine kleine Wdh zu Funktionen und die Aufgabe besteht darin, die Terme den Graphen zuzuordnen. Problem hierbei ist, daß ich gefühlt 80% dieser Ausdrücke noch nie gesehen bzw. in meinen Aufzeichnungen aus 10 und davor nur meist verallgemeinert ist.
Es wäre schön, wenn mir jemand die Terme f1, f3, f4 besonders, f5, f6, f7 und f8 erklären könnte, da ich hier besonders aufgeschmissen bin, vorallem teils bei der Aufgabe einzelner Glieder in den Termen, möchte nämlich von Anfang an nicht in ein Loch fallen.
mfg Fragesteller
4 Antworten
Hallo,
bei f(x)=x³-2x ist es sinnvoll kleine und große x-Werte zu betrachten.
Für kleine x-Werte, z.B. x=0,1, ist nur -2x entscheidend, da 0,1³=0,001 und -2•0,1=-0,2 ist, d.h. f(0,1)≈-2•0,1. In der Nähe der y-Achse verhält sich der Graph wie -2x, die Kurve verläuft fallend mit der Steigung -2 durch den Ursprung.
Für große x-Werte (z.B. x=10) ist x³ entscheidend, also für x→+∞ verläuft f(x)→∞.
Das ist bei Kurve 4 der Fall.
🤓
1=f2
2=f4 - ln (natürl. Logar.) ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Sie verhält sich also immer gegensätzlich. (Schau dir e^x und ln(x) mal im GTR/GeoGebra an)
3=f3 - eine Wurzel kann keinen negativen Wert annehmen. Damit 2*0 da steht muss unter der Wurzel 1-1(=0) stehen.
4=f1 - x³ stellt eine ganzrationale Fkt. 3. Grades dar, die eine Wende/Sattelstelle besitzt. Diese ist hier bei x=0
5=f6 - Hier steht ein x im Zähler und im Nenner, sowie eine rationale Zahl. Im Randverhalten spielt nun nur der höchste Faktor eine Rolle (x²/x = x). Im Lokalverhalten bestimmt die ganzrationale Zahl die Maximal/Minimalstelle. x=-1 (der Wert invertiert sich. Die Skizze ist hier ungenau!)
6=f6 - gleiches Spiel. Randverhalten x/x=1, Lokalverhalten -2 --> x=2
7=f9
8=f8 - Da die e-Fkt. niemals eine Nullstelle hat, sondern nur gegen unendlich läuft, bestimmt hier der ganzrat. Teil (g(x)=x) die Nullstelle. In diesem Fall ist es x=0. Die e-Fkt. bestimmt das Randverhalten.
9=f7 - setzt man für x=0 ein, so weiß man, dass der Graph die y-Achse bei y=5 schneidet. Das Randverhalten wird durch den x-Anteil gegeben. Hier: 1/x². Diese Funktion läuft Richtung unendlich gegen 0
| | ist Betrag, wird alles positiv, ... | - 5 | = 5
| x + 2 | ist also ne "Gerade" die nicht negativ werden kann, d. h.
sie hat ihren Nullpunkt bei -2 und dort steigt sie dann wieder, wegen dem weglassen des Vorzeichen nach dem Betrag aber gespiegelt, siehe erste Abbildung
ln(x - 1) ist eine verschobene Logarithmusfunktion zur Basis e.
x * e^x naja, die Überlegung ist einfach. Für x < 0 negativ (x * ... ) und gegen Null strebend weil Exponentialausdruck mit nicht negiertem Exponenten
f_7 schau dir Hyperbeln an
1, 2, 3, 7, 8 und 9 sind richtig
4: eine Funktion mit x³, punktsymmetrisch zum Ursprung, also nur ungerade Potenzen von x, somit f1
5: Polstelle bei x=-1 y=x ist Näherungsfunktion für betragsmäßig große x-Werte
gebrochen-rationale Funktion, bei der der Zählergrad um 1 größer ist als der Nennergrad, also f6
6: Polstelle bei x=2, Nullstelle bei x=0, y=1 ist waagrechte Asymptote für betragsmäßig große x-Werte, also gebrochenrationale Funktion, bei der der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, somit f5
f7: gebrochenrationale Funktion, mit Zählergrad < Nennergrad, also x-Achse als Asymptote für betragsmäßig große x-Werte. Nenner wird nie 0, also keine Polstelle(n), keine senkrechte Asymptote(n), keine Nullstelle(n), f7(0)=5/1=5, also y-Achsenschnittpunkt (0|5)
f8: Nullstelle bei x=0, Asymptote y=0 für x-> -oo, für x-> +oo geht f gegen +oo
ich würde die Funktion erst mal umschreiben: f(x)=x(x²-2)=x(x+Wurzel2)(x-Wurzel2)
in dieser Produktform kann man die Nullstellen direkt ablesen
wie das 2x das Schaubild beeinflusst, kann man nicht direkt sagen
wäre es z.B. nur eine 2 (also x³-2), dann wäre das eine Verschiebung um 2 nach unten.
ok danke hat mir schon weitergeholfem ich habe aber ein paar Nachfragen und zwar bei 4 wollte ich wissen, wie -2x den Graph beeinflusst, denn wenn dies nicht wäre würden ja 2 Parabeläste o. Hyperbelaste entstehen, die sich nicht treffen würden und sich spiegelverkehrt asymptotisch verhalten würden + jeweils nur im 1 und 3 Quadranten separat zu finden seien.