Vereinigung zweier linearer Hüllen?

Hallo, hätte eine kurze Verständnisfrage.

Es geht um die lineare Hülle von Vektoren.

Wir haben zwei Unterräume von V, U1= span(1;2), U2= span(1;-3)

Wir sollen jetzt sagen:

1. ob U1 ∪ U2 R^2 erzeugt

2.ob U1 + U2 R^2 erzeugt

Ich bin der Meinung, dass U1+U2 R^2 erzeugt, weil

span(1;2)+span(1;-3)=. y*(1;2)+z*(1;-3)

und die beiden Vektoren sind linear unabhängig, also Erzeugendensystem von R^2.

Zu 1.:

Für mich ist U1 ∪ U2 eigentlich kein Erzeugendensystem von R^2, weil das doch eigentlich nur die Menge aller Lösungen von U1 und U2 ist, also alle Vielfachen von (1;2) und (1;-3), nicht aber die Summe der jeweiligen Linearkombinationen.

ChatGPT sagt aber, dass U1 ∪ U2 = span(1;2) ∪ span(1;-3) = span ((1;2),(1;-3))

was ja dann ein ES von R^2 wäre.

Verstehe ich das falsch oder denkt sich Chatgpt da wieder was aus?

Answer 1

[FataMorgana2010]

Ein Erzeugendensystem muss ja nur eine Basis ENTHALTEN. Das ist für

U1 ∪ U2 ja der Fall, da sind zwei linear unabhängige Vektoren drin, das reicht. Das nicht alle Vektoren aus R da drin liegen, ist kein Problem.

Richtig ist also

$\langle U_1 \cup U_2 \rangle = \mathbb{R}$

Aber du hast recht, es gilt im Allgemeinen und vor allem hier

$U_1 \cup U_2 \neq \mathbb{R}$ aber das macht nix, denn es geht ja darum, um R erzeugt wird.

Nun gilt außerdem, dass

$\langle U_1 \cup U_2 \rangle = U_1 + U_2$

U1 + U2 ist also gleich R, und damit insbesondere AUCH ein Erzeugendensystem.