Vektorraum über Polynome deren Grad <= 3 ist?

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4 Antworten

Vielleicht ist es einfach ein wenig zu spät für so was...

{1, x, x², x³} ist die Basis des Vektorraums.

Jeder Vekter hat die Form a₀ + a₁ x + a₂ x² + a₃ x³

Jetzt kann man anfangen, die Körper- und Vektorraum-Eigenschaften nachzuweisen...

Schau halt mal in ein Algebra-Buch...

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Kommentar von okarin
18.08.2016, 01:25

Achso also wenn ich das richtig versteh hab ich einen gekrümmten Vektorraum und a0 - a3 sind die einzelnen Komponenten der Vektoren. Bring mir das leider alles im Selbststudium bei und hab somit kein Algebrabuch 😓

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Kommentar von SlowPhil
18.08.2016, 14:59

{1, x, x², x³} ist die Basis des Vektorraums.

Es ist eine Basis dieses Vektorraums.

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Wenn du dir einen normalen Vektor vorstellst, hat der ja irgendwelche Einträge. Zum Beipiel irgendwie (a, b  c) oder so. Hier wird mit der Definition p(x) angegeben, wie du Polynome als Vektoren auffassen kannst: Du kannst einfach die Koeffizienten in einen Vektor schreiben, hier also (a_0, a_1, a_2, a_3). Wenn du also das dazugehörige Polynom haben willst, musst du nur jeweils 1,x,x^2,x^3 an die jeweilige Zeile multiplizieren und die einzelnen Komponenten addieren, dann bekommst du wieder ein Polynom. Das Polynom musst du also im Prinzip erst noch als Vektor darstellen, um die Vektorrechnung (wie du sie vermutlich gelernt hast) anzuwenden. 
Bsp.: a) p_1(x) wird dann zu (0, -2, 1, 0) und so weiter.

Für die erste Aufgabe musst du dich allerdings nicht darum kümmern, sondern nur die Vektorraumaxiome zeigen. Das geht sowohl mit dem Polynom in der Schreibweise, in der du normal kennst, als auch mit dem Polynom in Vektorschreibweise. Wichtig ist nur, dass du dir klar machst, dass beide Schreibweisen dasselbe aussagen!

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Du sollst zeigen, dass die Menge der Polynome 3. Grades einen Vektorraum über R bilden. Das heisst erst mal, dass die Menge V bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe bilden. f.h. Du musst zeigen, 

1. dass die Summe zweier Polynome 3. Grades wieder ein Polynom 3. Grades ist

2- dass es eon neutrales Element gibt (Nullpolynom)

3. dass es zu jrdem Polynom p(x) 3. Grades mit reellen Koeffizienten ein anderes Polynom 3. Krades mit reellen Koeffizienten gibt (in diesem Fall -p(x), so dass die Summe das Bukkpolynom ergibt

4 dass diese Gruppe beldch idt, dass p)x)+q(x) dasselbe ist wie q(x) + p(x)

Ausserdem musst Du zeigen, dass wenn p(x) ein Polynom 3. grades mit reellen Koeffizienten ist, dann ist auch Lamda mal p(x) mit Lamda aus R wieder ein Polynom 3. Grades mit reellen Koeffienten

Und als letztes musst Du zeigen, dass Distributivgesetze gelten, Also

(Lamda + Mü) x p(x) = Lamda x p(x) + Mü x p(x)  und

Lamda (p(x)+q(x)) = Lamda x p(x) + Lamda x q(x(

Das heisst erst mal 

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Kommentar von okarin
18.08.2016, 01:07

Ja wie ein vektorraum definiert ist weiß ich. Was mich nur so verwirrt ist das diese Polynome keine Vektoren sind und ich hab gedacht dass das auch eine grundlegende Eigenschaft eines Vektorraumes wäre?

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Wenn du die Definition eines Vektorraumes kennst, wo ist das Problem? In der Schule lernt man, dass "Vektoren" übereinander (oder nebeneinander) geschriebene Tupel von Zahlen sind, aber diese dumme Definition lassen wir jetzt weg, du weißt doch aus der Definition selbst, dass es sich bei einem Vektorraum einfach nur um eine abelsche Gruppe + distributive Wirkung eines Körpers auf der Gruppe handelt.

In der Tat, jede abelsche Gruppe ist ein Vektorraum (über welchem Körper?), mach dir das erst einmal klar. Danach sollte es einfach sein, die Definitionen nachzurechnen.

LG

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Kommentar von Melvissimo
18.08.2016, 04:22

In der Tat, jede abelsche Gruppe ist ein Vektorraum (über welchem Körper?)

Ist das so? Ich habe diese Aussage jetzt zum ersten Mal gehört, also ein bisschen darüber nachgedacht. Aber ich komme leider nicht darauf, was du meinst.

Meine erste Idee war der Körper mit 2 Elementen (der hat irgendwie immer ne Sonderstellung, warum also nicht?). Aber die positive Charakteristik schließt ihn als Grundkörper für z.B. die ganzen Zahlen aus (nicht alle ganzen Zahlen x erfüllen x + x = 0). 

Mit demselben Argument können also alle Körper mit positiver Charakteristik ausgeschlossen werden, also insbesondere alle endlichen Körper.

Und ich habe bislang auch keinen unendlichen Körper gefunden, über dem Z ein Vektorraum ist... 

Mir ist bekannt, dass sich jede abelsche Gruppe als ein Modul auffassen lässt, aber deine obige Aussage verstehe ich leider nicht. Kannst du die etwas näher ausführen?

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