Vektorraum über Polynome deren Grad <= 3 ist?

Aufgabe - (Mathe, Mathematik, Physik)

4 Antworten

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Vielleicht ist es einfach ein wenig zu spät für so was...

{1, x, x², x³} ist die Basis des Vektorraums.

Jeder Vekter hat die Form a₀ + a₁ x + a₂ x² + a₃ x³

Jetzt kann man anfangen, die Körper- und Vektorraum-Eigenschaften nachzuweisen...

Schau halt mal in ein Algebra-Buch...

Achso also wenn ich das richtig versteh hab ich einen gekrümmten Vektorraum und a0 - a3 sind die einzelnen Komponenten der Vektoren. Bring mir das leider alles im Selbststudium bei und hab somit kein Algebrabuch 😓

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@okarin

Achso also wenn ich das richtig versteh hab ich einen gekrümmten Vektorraum…

Lass' Dich nicht davon irritieren, dass die Funktionsgraphen Kurven sind. Nicht die Funktionsgraphen sind die Vektoren, sondern die Funktionen selbst.

Wenn Du Dir einen ganz »normalen« 3D-Vektor der Form (1;0;1) vorstellst, so heißt dies ja auch nicht, dass der Vektor einen Knick hätte, sondern es ist eben ein Vektor; der komplett in der x₁ - x₃ - Ebene liegt.

Auch der Raum aller Polynome maximal 2. Grades ist ein 2D-Raum mit den drei Richtungen 1, x und x².

Innerhalb des unendlichdimensionalen Funktionenraums, dessen Unterraum unser Polynomraum ist, ist beispielsweise x² ein Vektor, dessen Komponenten einfach in einem ganz bestimmten Verhältnis stehen.

Ähnlich wie bei dem Vektor aus dem ℝ¹¹,

(–25;–16;–9;–4;–1; 0; 1; 4; 9; 16; 25).

Das ist ein Vektor, und der hat auch keinen Knick und ist auch nicht krumm.

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Vektorräume sind auch niemals gekrümmt. Gekrümmt sein können nur so genannte Mannigfaltigkeiten, Verallgemeinerungen von Flächen. In 2D beispielsweise kann eine Fläche sehr wohl gekrümmt sein, nicht aber eine Ebene.

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@SlowPhil

Ok soweit versteh ich jetzt langsam worauf ihr alle raus wollt. Aber trotzdem blick ich nicht wie diese definition richtig sein kann ich hätte dafür jetzt p(x) = a_1 * (1, 0, 0, 0) + a_2 * (0, x, 0, 0) + a_3 * (0, 0, x², 0) + a_4 * (0, 0, 0, x³) geschrieben. Auf die andere art hät ich ja immer noch eine Menge von skalaren und die können doch keinen Raum bilden?

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@okarin

Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums.

Ein Vektorraum ist eine Menge V und ein Körper K mit zwei Verknüpfungen V × V → V und K × V → V, die noch an bestimmte Bedingungen geknüpft sind.

Jede Menge und jeder Körper, die zusammen diese Bedingungen erfüllen, bilden einen Vektorraum.

z.B. die n-Tupel aus der Menge des |R^n und dem Körper der reellen Zahlen.

Oder eben die Menge der Polynome vom Grad < n mit den reellen Zahlen.

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{1, x, x², x³} ist die Basis des Vektorraums.

Es ist eine Basis dieses Vektorraums.

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@SlowPhil

Jepp, und der Raum aller Polynome maximal zweiten Grades ist ein 3D-Raum. 😜

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Wenn du dir einen normalen Vektor vorstellst, hat der ja irgendwelche Einträge. Zum Beipiel irgendwie (a, b  c) oder so. Hier wird mit der Definition p(x) angegeben, wie du Polynome als Vektoren auffassen kannst: Du kannst einfach die Koeffizienten in einen Vektor schreiben, hier also (a_0, a_1, a_2, a_3). Wenn du also das dazugehörige Polynom haben willst, musst du nur jeweils 1,x,x^2,x^3 an die jeweilige Zeile multiplizieren und die einzelnen Komponenten addieren, dann bekommst du wieder ein Polynom. Das Polynom musst du also im Prinzip erst noch als Vektor darstellen, um die Vektorrechnung (wie du sie vermutlich gelernt hast) anzuwenden. 
Bsp.: a) p_1(x) wird dann zu (0, -2, 1, 0) und so weiter.

Für die erste Aufgabe musst du dich allerdings nicht darum kümmern, sondern nur die Vektorraumaxiome zeigen. Das geht sowohl mit dem Polynom in der Schreibweise, in der du normal kennst, als auch mit dem Polynom in Vektorschreibweise. Wichtig ist nur, dass du dir klar machst, dass beide Schreibweisen dasselbe aussagen!

Wenn du die Definition eines Vektorraumes kennst, wo ist das Problem? In der Schule lernt man, dass "Vektoren" übereinander (oder nebeneinander) geschriebene Tupel von Zahlen sind, aber diese dumme Definition lassen wir jetzt weg, du weißt doch aus der Definition selbst, dass es sich bei einem Vektorraum einfach nur um eine abelsche Gruppe + distributive Wirkung eines Körpers auf der Gruppe handelt.

In der Tat, jede abelsche Gruppe ist ein Vektorraum (über welchem Körper?), mach dir das erst einmal klar. Danach sollte es einfach sein, die Definitionen nachzurechnen.

LG

In der Tat, jede abelsche Gruppe ist ein Vektorraum (über welchem Körper?)

Ist das so? Ich habe diese Aussage jetzt zum ersten Mal gehört, also ein bisschen darüber nachgedacht. Aber ich komme leider nicht darauf, was du meinst.

Meine erste Idee war der Körper mit 2 Elementen (der hat irgendwie immer ne Sonderstellung, warum also nicht?). Aber die positive Charakteristik schließt ihn als Grundkörper für z.B. die ganzen Zahlen aus (nicht alle ganzen Zahlen x erfüllen x + x = 0). 

Mit demselben Argument können also alle Körper mit positiver Charakteristik ausgeschlossen werden, also insbesondere alle endlichen Körper.

Und ich habe bislang auch keinen unendlichen Körper gefunden, über dem Z ein Vektorraum ist... 

Mir ist bekannt, dass sich jede abelsche Gruppe als ein Modul auffassen lässt, aber deine obige Aussage verstehe ich leider nicht. Kannst du die etwas näher ausführen?

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@Melvissimo

Du hast recht, ich habe Module und Vektorräume verwechselt. Jede abelsche Gruppe ist ein Z-Modul meinte ich eigentlich, jedoch ist Z kein Körper, und damit das Modul kein Vektorraum. Danke für die Verbesserung.

Ein Gegenbeispiel für meine Aussage wäre bereits Z, diese Gruppe ist kein Vektorraum (egal über welchem Körper). Dieser müsste offensichtlicherweise Charakteristik 0 haben (da der Erzeuger "1" von Z keine endliche Ordnung hat), und müsste somit Q enthalten, was sofort zu unüberwindbaren Problemen führt. z.B. dürfte Z keine Primzahlen enthalten, da jeder Q-Vektorraum teilbar ist.

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