Skalarmultiplikation im Vektorraum mit einer Matrix?
In einem Vektorraum ist ja die Skalarmultiplikation immer mit bestimmten Eigenschaften definiert. Die Skalare für die Skalarmultiplikation stammen dabei ja immer aus einem Körper, der separat definiert ist.
Nun kann eine Menge von Matrizen doch auch einen Körper bilden, nennen wir diesen Körper mal K. Und demnach könnte ich doch auch sagen, dass ich die Skalare für die Skalarmultiplikation in einem Vektorraum, nennen wir ihn V, aus einem Körper wähle, der eine Menge von Matrizen, also K, ist. Dann hätte ich doch den K-Vektorraum V.
Kann es nun also vorkommen, dass ich einen Vektorraum habe, bei dem bei der Skalarmultiplikation keine einfachen Zahlen verwendet werden, sondern Matrizen?
Für mich war die Skalarmultiplikation bislang immer vom Schema Zahl * Vektor. Aber ich finde einfach keinen guten Grund, weshalb es nicht auch Matrix * Vektor sein sollte.
Die Definitionen von Vektorraum und Körper sollten dies doch eigentlich zulassen. Oder sind dann zwangsweise bestimmte Körperaxiome nicht mehr erfüllt? Ich könnte als Körper ja beispielsweise die Menge aller 1×1-Matrizen nehmen, deren Einträge den reellen Zahlen entsprechen. Dann wäre die Skalarmultiplikation vom Schema Matrix * Vektor.
1 Antwort
Hallo,
Für mich war die Skalarmultiplikation bislang immer vom Schema Zahl * Vektor. Aber ich finde einfach keinen guten Grund, weshalb es nicht auch Matrix * Vektor sein sollte.
Für mich war die Skalarmultiplikation bislang immer vom Schema Zahl * Vektor. Aber ich finde einfach keinen guten Grund, weshalb es nicht auch Matrix * Vektor sein sollte.
Du solltest dir zunächst klarmachen, dass ein K-Vektorraum aus einem Körper K besteht, der auf einer kommutativen Gruppe (V,+) "verträglich" operiert.
(Siehe z.B. Mathepedia: Vektorraum)
Bevor du einen Vektor v∈V, d.h. ein Element der Gruppe (V,+), mit einer Matrix (also einem Element des Matrizenkörpers K) multiplizierst, musst du diese Multiplikation definieren und zeigen, dass die geforderten Eigenschaften eines K-Vektorraums erfüllt sind (und du musst zeigen, dass die Matrizen, die du betrachtest, einen Körper bilden).
Wie sollen z.B. (4x4)-Matrizen auf Elementen des ℝ⁵ operieren? ;-)
Ich könnte als Körper ja beispielsweise die Menge aller 1×1-Matrizen nehmen, deren Einträge den reellen Zahlen entsprechen.
Ja, das geht, aber der Fall ist uninteressant, weil 1x1-Matrizen nichts anderes als die "üblichen" Skalare sind. Ich dachte, du möchtest den Fall der "üblichen" Skalare, d.h. den Fall der 1x1-Matrizen verlassen und geeignete höherdimensionale Matrizen nehmen.(In dem Fall kann man nicht beliebige quadratische Matrizen nehmen!)
Wenn du sagst, ich betrachte reelle Zahlen jetzt als 1x1-Matrizen und multipliziere sie wie üblich z.B. mit Elementen des ℝⁿ, hast du an dem Fall "ℝⁿ ist ein ℝ-Vektorraum" nichts geändert.
Gruß
Gehen wir mal davon aus, es gäbe im Körper z.B. eine 1×3-Matrix
Was meinst du damit? Wenn ein Körperelement eine 1x3-Matrix wäre, dann wären alle Körperelemente 1x3-Matrizen.
Gehen wir mal davon aus, es gäbe im Körper z.B. eine 1×3-Matrix, und der Vektorraum wäre der R3, dann wäre es ja grundsätzlich möglich, die Skalarmultiplikation zu definieren.
Mal angenommen, der Körper K besteht aus bestimmten 1x3-Matrizen.
Du willst eine 1x3-Matrix mit einem Vektor aus ℝ³ multiplizieren, so dass diese Multiplilkation die Operation von K auf ℝ³ ist ? Dann muss das Ergebnis wieder ein Vektor aus ℝ³ sein!
Danke für deine Antwort, ich glaube zu verstehen, was du sagst.
Allerdings habe ich immer noch ein kleines Problem, lass es mich also mal anders formulieren:
Wenn ich überprüfen möchte, ob eine Menge ein Vektorraum ist und ich mir dann dabei die Skalarmultiplikation ansehe, darf ich dann davon ausgehen, dass das Skalar immer eine "normale" Zahl ist (die trivialen Fall der 1x1-Matrix mal außer Acht gelassen)? Gehen wir mal davon aus, es gäbe im Körper z.B. eine 1×3-Matrix, und der Vektorraum wäre der R3, dann wäre es ja grundsätzlich möglich, die Skalarmultiplikation zu definieren. Ich müsste also meine Beweis strukturell anders aufsetzen.