Vektorraum?
Hallo,
in der Definiton eines Vektorraums kommt die Verknüpfung mit mal und plus vor. Aber wieso? Haben diese Rechenarten so eine große Bedeutung? Liegt es daran, dass ein Vektorraum ein Körper ist?
Ist ein Vektorraum dann einfach eine Menge von Vektoren, egal ob Ortsvektor oder nicht, die dann in diesem Raum bzw. Ebene liegen?
Danke
4 Antworten
Vekorräume sind im Allgemeinen keine Körper.
Man gibt Vektorräume über einem Körper oder zumindest einem Divisionsring an, den wir hier als R bezeichnen.
Ein Vektorraum V ist gegeben durch eine Menge aller Vektoren dieses Raumes mit eine Operation + und einer weiteren * mit einem Skalardivisionsring R: (V,+,*)
Dabei bildet (V,+) eine abelsche Gruppe, also:
Zwei Vektoren v,w aus V kann man addieren zu einem weiteren Vektor v+w aus V
Es gilt dabei v+w=w+v
Es gibt ein Element 0 aus V, sodass für jedes v aus V gilt v+0=v
Und es gibt zu jedem v aus V ein w aus V, sodass v+w=0
Für die Skalarmultiplikation * gilt für jedes a aus R und v aus V, dass auch a*v aus V ist.
Außerdem sind * und + beidseitig distributiv für alle a aus R und v,w aus V:
a*(v+w)=a*v+a*w
(v+w)*a)=v*a+w*a
Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, handelt es sich bei (V,+,*) um einen R - Vektorraum
Ist eben so definierz
Weil sonst die Vektoraddition und Vektormultiplikation nicht abgeschlossen bzw. nicht definiert ist & das ist aber genau das, was du bei einem Vektorraum haben willst.
Und ja, ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die auch die anderen Axiome (bzgl. Rechengesetze, Vektormult. und Vektoradd.) erfüllt.
Eine Menge von Vektoren ohne diese Axiome ist eigentlich nutzlos.
Die Verknüpfungen müssen nicht zwangsweise + und * sein.
Bei einem Vektorraum wie dem R^n / C^n also z.b. dem R^2 oder R^3 macht es Sinn alles über die gewöhnliche Addition/ Multiplikation laufen zu lassen.
Beispielsweise könntest du für den R^2 auch dein (+) so definieren:
(v_1 , v_2) (+) (u_1, u_2) = (v_1 + u_1, v_2 - u_2)
Müsstest dann halt überprüfen ob die Axiome erfüllt sind. https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum
Grüße