Unterschied zwischen quadr. Pyramide und quadr. Pyramide mit Kantenlänge a?

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3 Antworten

quad.Pyramide allgemein:

Hier ist die Grundfläche ein Quadrat. die Höhe und die Kanten, die zur Pyramidenspitze führen sind nicht näher definiert. Daher gilt hier die Allgemeine Formel:
V=1/3* A* h

Hier ist A die Grundfläche, daher a^2 vom Quadrat

Bei Kantenlänge a jedoch sind alle Kanten gleichlang. Daher kann man für die Höhe h einsetzen: a*Wurzel(1/2)=h über Pythagoras:

a^2=h^2*h^2                h=Ankathete und auch Gegenkathete

a^2=2*h^2                   durch 2 teilen

0,5*a^2=h^2                Wurzel ziehen

a*Wurzel(0,5)=h

Alles in der Volumenformel eingesetzt ergibt das deine Formel! :D

Im ersten Fall hat das Quadrat (die Grundfläche) Seitenlänge a und die Pyramide hat die Höhe h (Abstand Grundfläche - Spitze).

Im zweiten Fall hat das Quadrat wieder die Seitenlänge a aber diesmal wissen wir, dass die Seitenflächen gleichseitig sind, also die Verbindungsstrecken zwischen Spitze und den Quadratecken auch die Länge a haben.

Mache dir am besten eine Skizze und zeichne alles ein, sonst ist es vielleicht etwas schwierig sich das vorzustellen!

Die zweite Formel steht für eine Pyramide, bei der die vier Dreiecke gleichseitig sind.

Die Formel lässt sich auch durch doppeltes Anwenden des Satzes von Pythagoras herleiten.

h=sqrt((sqrt(a²-(a/2)²)²-(a/2)²)=sqrt(a²-2(a/2)²)=a*sqrt(1-2/2²)=a*sqrt(1/2)

Wenn man das in die allgemeine Formel V=1/3*a²*h einsetzt, erhält man

V=1/3*a²*a*sqrt(1/2)=1/3*a³*sqrt(1/2)

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