Unterschied zwischen quadr. Pyramide und quadr. Pyramide mit Kantenlänge a?

3 Antworten

Die zweite Formel steht für eine Pyramide, bei der die vier Dreiecke gleichseitig sind.

Die Formel lässt sich auch durch doppeltes Anwenden des Satzes von Pythagoras herleiten.

h=sqrt((sqrt(a²-(a/2)²)²-(a/2)²)=sqrt(a²-2(a/2)²)=a*sqrt(1-2/2²)=a*sqrt(1/2)

Wenn man das in die allgemeine Formel V=1/3*a²*h einsetzt, erhält man

V=1/3*a²*a*sqrt(1/2)=1/3*a³*sqrt(1/2)

quad.Pyramide allgemein:

Hier ist die Grundfläche ein Quadrat. die Höhe und die Kanten, die zur Pyramidenspitze führen sind nicht näher definiert. Daher gilt hier die Allgemeine Formel:
V=1/3* A* h

Hier ist A die Grundfläche, daher a^2 vom Quadrat

Bei Kantenlänge a jedoch sind alle Kanten gleichlang. Daher kann man für die Höhe h einsetzen: a*Wurzel(1/2)=h über Pythagoras:

a^2=h^2*h^2                h=Ankathete und auch Gegenkathete

a^2=2*h^2                   durch 2 teilen

0,5*a^2=h^2                Wurzel ziehen

a*Wurzel(0,5)=h

Alles in der Volumenformel eingesetzt ergibt das deine Formel! :D

Im ersten Fall hat das Quadrat (die Grundfläche) Seitenlänge a und die Pyramide hat die Höhe h (Abstand Grundfläche - Spitze).

Im zweiten Fall hat das Quadrat wieder die Seitenlänge a aber diesmal wissen wir, dass die Seitenflächen gleichseitig sind, also die Verbindungsstrecken zwischen Spitze und den Quadratecken auch die Länge a haben.

Mache dir am besten eine Skizze und zeichne alles ein, sonst ist es vielleicht etwas schwierig sich das vorzustellen!

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

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