Unregelmäßiges spitzwinkeliges Dreieck berechnen?

Von einem unregelmäßigen, spitzwinkeligen Dreieck sind die Seite c (AB), der Winkel Gamma (bCa) sowie die Teilstücke c1 (AFp) und c2 (FpB) bekannt. Der Punkt Fp ist der Fußpunkt der Höhe auf c.
Wie kann die Höhe auf c (FpC) berechnet werden?

Answer 1

[gauss58]

Möglicher Ansatz:

Winkel γ = γ_1 + γ_2 mit γ_1 = Winkel ACFP und γ_2 = Winkel FPCB

(1) h = c_1 / tan(γ_1)

(2) h = c_2 / tan(γ - γ_1)

gleichsetzen:

(3) c_1 / tan(γ_1) = c_2 / tan(γ - γ_1)

Additionstheorem für den Tangens:

(4) tan(γ - γ_1) = (tan(γ) - tan(γ_1)) / (1 + tan(γ) * tan(γ_1))

(4) in (3):

c_1 / tan(γ_1) = c_2 / ((tan(γ) - tan(γ_1)) / (1 + tan(γ) * tan(γ_1)))

Auflösen nach γ_1 (führt zu einer quadratischen Gleichung):

tan²(γ_1) + ((c_2 + c_1) / (c_2 * tan(γ))) * tan(γ_1) - (c_1 / c_2) = 0

tan(γ_1) = - (c_1 + c_2) / (2 * c_2 * tan(γ)) +-√(((c_1 + c_2) / (2 * c_2 * tan(γ)))² + (c_1 / c_2))

h = c_1 / (- (c_1 + c_2) / (2 * c_2 * tan(γ)) +-√(((c_1 + c_2) / (2 * c_2 * tan(γ)))² + (c_1 / c_2)))

Answer 2

[Halbrecht]

Höhensatz , mehr braucht es nicht

h² = c1*c2

Comments

[gauss58]

Der Höhensatz setzt ein rechtwinkliges Dreieck voraus.

[trigon361]

Möglicherweise habe ich meine Frage ungenau formuliert, aber das Produkt aus c1 und c2 bleibt konstant, unabhängig wie groß die Höhe auf die Grundline/Seite c ist. Lasse ich c und somit auch c1 und c2 gleich lässt sich eine beliebige Höhe auf c errichten. Der Winkel Gamma wird sich vergrößern, wenn die Höhe auf c kleiner wird und im Gegenzug verkleinern, wenn h(c) größer wird. Insofern scheint die von Dir angegebene Formel nicht weiter zu helfen.

Folglich muss der Winkel Gamma in die Berechnung eingehen, denn die Höhe auf c ist eine Funktion des Winkel Gamma: Je größer Gamma, desto kleiner h(c), je kleiner Gamma, desto größer h(c). Grenzwerte der Funktion: Gamma 0 --> h(c) unendlich, Gamma 180 Grad --> h(c) = 0.