Um wieviel Prozent nimmt die kantenlänge des Würfels zu?
Ein Gefäss hat die Form eines Würfels. Es ist aus dünnem Zinkblech. Die Kantenlänge des Würfels beträgt 32 cm bei 20 °C. Die Temperatur steigt auf 42 °C. (Zink:
- Um wie viel Prozent nimmt die Kantenlänge des Würfels zu?
- Um wie viel Prozent nimmt das Volumen des Würfels zu?
Ich habe die Lösungen für diese Aufgabe schon bekommen, ich verstehe aber der Lösungsweg noch nicht. Es wäre super wenn jemand mir damit helfen könnte.
2 Antworten
Jede einzelne Länge nimmt um den Faktor
(delta länge) / länge = alpha * (delta T)
zu.
Damit kannst du die relative Änderung der Kantenlänge berechnen.
Wärmeausdehnungskoeffizienten sind so klein, dass man beim Ausmultiplizieren des binomischen Ausdrucks (1 + alpha)³ quadratische Summanden weglassen kann (und erst recht kubische Summanden). Damit ist der Volumenausdehnungskoeffizient
alpha_Volumen = 3 * alpha_Länge
Damit kannst du die relative Volumenzunahme berechnen. (Oder gleich die relative Längenzunahme der Kanten mit 3 multiplizieren.)
Geht natürlich auch mit dem kompletten Ausdruck (1 + alpha)³, aber die Ausdehnungskoeffizienten sind nicht genau genug bekannt, um den Mehraufwand zu rechtfertigen. (Spielt heute im Zeitalter der Computer keine merkliche Rolle mehr, aber vor einem halben Jahrhundert, als ein einfacher Taschenrechner so viel kostete wie heute ein iPhone, sah es da ganz anders aus.)
- Berechne das Volumen bei 20°C
- Berechne die Längenausdehnung bei Delta T = 22 K (Delta L / L = Alpha 3 delta T)
- Berechne die Seitenlänge bei 42°C
- Berechne das Volumen: Seitenlänge ^3
- Berechne die entsprechende prozentuale Zunahme und prüfe das Ergebnis